HỆ PHƯƠNG TRÌNH

 
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

\left\{\begin{array}{l}ax + by + c = 0 \\ a'x + b'y + c' = 0\end{array}\right.
Đặt
D = <br />\|<br />\begin{eqnarray}<br />a & b \\<br />a' & b'<br />\end{eqnarray}<br />\|<br />

D_x = <br />\|<br />\begin{eqnarray}<br />b & c \\<br />b' & c'<br />\end{eqnarray}<br />\|<br />

D_y = <br />\|<br />\begin{eqnarray}<br />c & a \\<br />c' & a'<br />\end{eqnarray}<br />\|<br />

– D ≠ 0 : Hệ có nghiệm duy nhất x = Dx/D và y = Dy/D
– D = 0 và (Dx ≠ 0 hay Dy ≠ 0) : hệ vô nghiệm
– D = Dx = Dy = 0 : hệ có vô số nghiệm (theo công thức nghiệm tổng quát)

Nhân tiện mình sẽ trình bày hệ phương trình tuyến tính (n phương trình n ẩn) theo phương pháp Cramer (tham khảo)

\left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2\\ \\ .......................................................... \\ \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nn}x_n = b_n\end{array}\right.

Đặt
A =<br />\ (<br />\begin{eqnarray}<br />a_{11} & a_{12} & . & . & . & a_{1n} \\<br />a_{21} & a_{22} & . & . & . & a_{2n} \\<br />\\<br />. & . & . & & & .\\<br />. & . & & . & & .\\<br />. & . & & & . & .\\<br />\\<br />a_{n1} & a_{n2} & . & . & . & a_{nn}<br />\end{eqnarray}<br />\)        B = \ (<br />\begin{eqnarray}<br />b_1 \\<br />b_2 \\ \\<br />. \\<br />. \\<br />. \\ \\<br />b_n<br />\end{eqnarray}<br />\) <br />

Ta gọi Ai là ma trận được thành lập bằng cách thay phần tử cột i của ma trận A bằng cột của ma trận B (với i = 1,2,….,n)

– Nếu │A│ ≠ 0 ↔ hệ có nghiệm duy nhất (x1, x2, … , xn) với xi = │Ai│/│A│ 
– Nếu │A│ = 0 và tồn tại │Ai│ ≠ 0 → hệ vô nghiệm
– Nếu │A│ = 0 và với mọi i = 1,2,…,n thỏa │Ai│ = 0 → hệ không có nghiệm duy nhất (hệ vô số nghiệm hoặc vô nghiệm)

II. Những dạng hệ phương trình đặc biệt thường gặp

1. Hệ phương trình đối xứng loại 1

\left\{\begin{array}{l}f(x,y) = f(y,x) = 0 \\ g(x,y) = g(y,x) = 0\end{array}\right.

Thông thường, ta đặt S = x + y và P = xy, được hệ pt theo S,P → x,y
Chú ý với mỗi (S,P), để tồn tại (x,y) thì phải thỏa : S2 – 4P ≥ 0

2. Hệ phương trình đối xứng loại 2

\left\{\begin{array}{l}f(x,y) = g(y,x) = 0 \\ g(x,y) = f(y,x) = 0\end{array}\right.

Thông thường, trừ vế với vế 2 pt, ta được một pt dạng (x – y).h(x,y) = 0

3. Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2
\left\{\begin{array}{l}a_1x^2 + b_1xy + c_1y^2 = d_1 \\ a_2x^2 + b_2xy + c_2y^2 = d_2\end{array}\right.
* Với y = 0 , giải và tìm nghiệm của hệ
* Với y ≠ 0 , giả sử (x,y) là một nghiệm của hệ thì luôn tồn tại một số thực k sao cho x = ky
   Thay x = ky ta được hệ 2 pt mới
   Chia 2 pt trên cho nhau ta được một pt chỉ chứa k.
   Tìm được k , suy ra y và x

Bình luận về bài viết này