CÔNG THỨC KHAI TRIỂN ABEL

Cho $x_1,x_2,...,x_n$ và $y_1,y_2,...,y_n$ là các số thực tùy ý. Đặt $S_{k}=y_{1}+y_{2}+...+y_{k}\forall k\in \mathbb{Z}^{+},1\leq k\leq n$

Khi đó :

$\boxed{x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n}=\left ( x_{1}-x_{2} \right )S_{1}+\left ( x_{2}-x_{3} \right )S_{2}+...+\left ( x_{n-1}-x_{n} \right )S_{n-1}+x_{n}S_{n}}$

Hai đẳng thức thường dùng :

Trường hợp $n=3$ :

$\boxed{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=(a_{1}-a_{2})b_{1}+(a_{2}-a_{3})(b_{1}+b_{2})+a_{3}(b_{1}+b_{2}+b_{3})}$

Trường hợp $n=2$ :

$\boxed{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+=(a_{1}-a_{2})b_{1}+a_{2}(b_{1}+b_{2})}$

Hệ quả của khai triển Abel :

Cho hai dãy số thực $(x_1,x_2,...,x_n),(a_1,a_2,...,a_n)$ . Khi đó ta có đẳng thức :

$\boxed{a_1(x_1-x_2)+a_2(x_2-x_3)+...+a_{n-1}(a_{n-1}-a_n)+a_nx_n=a_1x_1+(a_2-a_1)x_2+...+(a_n-a_{n-1})x_n}$

Chứng minh : Áp dụng công thức khai triển $Abel$ cho hai dãy $\left ( x_1,x_2,...,x_n \right ),(y_1=a_1,y_2=a_2-a_1,...,y_n=a_n-a_{n-1})$ .

BẤT ĐẲNG THỨC ABEL

Cho hai dãy số thực $(x_1,x_2,....,x_n),(y_1,y_2,...,y_n)$ với $x_{1}\geq x_{2}\geq ...\geq x_{n}$ . Nếu $c_{k}=y_1+y_2+...+y_k\;\;\forall k=\overline{1,n}$ và $M=\underset{k=1,2,...,n}{max}c_k$ , $m=\underset{k=1,2,...,n}{min}c_k$ thì ta có :