Định lý Abel – Định lý Tauber

Xét chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n. \;\;\;(1)$

Một nhận xét xuất phát từ điều kiện cần khá đơn giản: nếu chuỗi $(1)$ hội tụ tại $x_0\not=0$ thì nó sẽ hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm $x$ mà $|x|<|x_0|.$ Thật vậy, do chuỗi $(1)$ hội tụ tại $x_0$ nên theo điều kiện cần có

$\lim\limits_{n\to\infty}|a_nx^n_0|=0.$

Ta có với $\epsilon=1$ có một số tự nhiên $n_0$ đề với mọi $n\ge n_0$ có

$|a_nx^n_0|<1$ hay $|a_n|<\dfrac{1}{|x_0|^n}.$

Khi đó với $x\in(-|x_0|, |x_0|), n\ge n_0$ có

$|a_nx^n|<\Big(\dfrac{|x|}{|x_0|}\Big)^n$ và $0\le\dfrac{|x|}{|x_0|}<1.$

Do đó chuỗi

$\sum\limits_{n=1}^\infty |a_nx^n|=\sum\limits_{n=1}^{n_0}|a_nx^n|+\sum\limits_{n=n_0+1}^\infty|a_nx^n|$

hội tụ với mọi $x\in(-|x_0|, |x_0|).$

Từ nhận xét trên, nếu đặt $R=\sup\{|x|\;|\; \sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n$ hội tụ $\}$ thì

+) chuỗi $(1)$ hội tụ tuyệt đối trong khoảng $(-R, R);$

+) chuỗi $(1)$ phân kỳ ngoài đoạn $[-R, R].$

Để tính bán kính hội tụ $R$ ta thường dùng dấu hiệu căn Cauchy hoặc dấu hiệu D’Alembert.

Cũng có chuỗi bán kính hội tụ $R=0,$ chẳng hạn

$\sum\limits_{n=1}^\infty n! x^n.$

Và có chuỗi bán kính hội tụ $R=+\infty,$ chẳng hạn

$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}x^n.$

Trong bài này ta chỉ bàn đến trường hợp bán kính hội tụ hữu hạn và dương.

Bằng việc sử dụng khái niệm hội tụ đều ta chỉ ra được hàm giới hạn $S(x)$ là hàm khả vi vô hạn trên $(-R, R).$

Vấn đề của bài viết quan tâm: tại những đầu mút $x=\pm R$ xảy ra những gì?

Với chú ý $a_nx^n=b_n y^n$ với $b_n=a_nR^n$ và $y^n=\dfrac{x^n}{R^n}$ ta có thể giả sử $R=1$ mà không làm mất tính tổng quát.

Vấn đề đầu tiên: nếu có $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$ hội tụ đến $S$ thì liệu có $\lim\limits_{x\to 1^-}S(x)$ ? Và nếu có thì so với $S$ thế nào?

N.H. Abel đã cho câu trả lời đẹp: Khi đó $\lim\limits_{x\to 1^-}S(x)=S.$

Việc chứng minh sử dụng khái niệm hội tụ đều và Định lý Abel sau:

“Nếu chuỗi $\sum\limits_{n=0}^\infty u_n(x)$ hội tụ đều trên $D$ và dãy $\{v_n(x)\}_{n=0}^\infty$ là dãy đơn điệu, bị chặn đều trên $D$ thì chuỗi $\sum\limits_{n=0}^\infty u_n(x)v_n(x)$ hội tụ đều trên $D.$ “

Cụ thể có chuỗi $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$ hội tụ (không phụ thuộc $x$ ) và dãy $\{x^n\}_{n=0}^\infty$ là dãy giảm và bị chặn dưới đều bởi $0$ trên $[0, 1]$ nên chuỗi $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ hội tụ đều trên $[0, 1].$ Từ đó ta có điều phải chứng minh.

N. H. Abel cũng cho câu trả lời khi $x$ là số phức. Ta sẽ quay trở lại vấn đề này sau.

Vấn đề tiếp theo: câu hỏi ngược lại, nghĩa là nếu biết $\lim\limits_{x\to 1^-}S(x)$ ta nói được gì về $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ ?

Câu trả lời khẳng định sẽ giúp ta tính được một số chuỗi số! Chẳng hạn chuỗi

$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\dfrac{1}{n}=\ln2.$

Tuy nhiên không phải lúc nào cũng có câu trả lời khẳng định. Ta sẽ thấy qua ví dụ sau.

Xét chuỗi $\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nx^n$ hội tụ đến $S(x)=\dfrac{1}{1+x}$ trong $(-1, 1).$

Có giới hạn $\lim\limits_{x\to 1^-}S(x)=\dfrac{1}{2}$ và không có giới hạn $\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n.$

Như vậy cần thêm điều kiện. A. Tauber, năm 1897, đưa ra điều kiện $a_n=o(1/n)$ nghĩa là $\lim\limits_{n\to\infty}na_n=0.$ Sau đó năm 1911, J.E. Littlewood đưa ra điều kiện yếu hơn $a_n=O(1/n)$ một phía, nghĩa là có một hằng số dương $M$ không phụ thuộc $n$ để