Số Euler e và số pi

Số $\pi$ xuất hiện khi ta đo chu vi của đường tròn đơn vị. Số $\pi$ xuất hiện khá sớm (khoảng 2589–2566 BC), còn số Euler $e$ xuất hiện muộn hơn (được công bố đầu tiên trong công trình của John Napier vào năm 1618). Khác với cách xuất hiện số $\pi$ , số $e$ xuất hiện khi Jacob Bernoulli nghiên cứu giới hạn

$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n$ .

Nhìn vào giới hạn này mọi người có thể nghĩ rằng số $e$ có nguồn gốc toán học. Kỳ thực nguồn gốc của giới hạn trên là bài toán ngân hàng về việc tính lãi. Một người vay ngân hàng $100$ đồng với tổng lãi một năm là 100%, nghĩa là

+ nếu người đó trả một lần vào cuối năm thì tổng tiền cả lãi một năm phải trả

$100\times 100\%=100$ đồng;

+ nếu người đó trả hai lần thì sau mỗi sáu tháng phải trả lãi $50\%$ , tổng tiền cả lãi một năm phải trả

$100\times(1+1/2)\times(1+1/2)=100\times(1+1/2)^2$ đồng;

(chú ý từ lần hai sẽ có chuyện “lãi mẹ đẻ lãi con”)

+ nếu người đó trả bốn lần thì sau mỗi quý phải trả lãi $25\%$ , tổng tiền cả lãi một năm phải trả

$100\times(1+1/4)^4$ đồng;

+ nếu người đó trả mười hai lần thì sau mỗi tháng phải trả lãi $(100/12)\%$ , tổng tiền cả lãi một năm phải trả

$100\times(1+1/12)^{12}$ đồng;

+ nếu người đó trả hàng ngày thì mỗi ngày phải trả lãi $(100/365)\%$ , tổng tiền cả lãi một năm phải trả

$100\times(1+1/365)^{365}$ đồng.

Cứ thế, nếu người đó trả lãi hàng giờ, hàng phút, hàng giây thì sẽ xuất hiện giới hạn

$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n$ .

Xuất phát ở những thời điểm khác nhau, tình huống khác nhau nhưng số $\pi$ và số $e$ có cùng tính chất là: vô tỷ và siêu việt.

Câu chuyện sau hay xảy ra với sinh viên khi không nhận ra được $\pi$ là số vô tỷ. Khi chứng minh dãy $\{\sin n\}_{n=1}^\infty$ không hội tụ các bạn sinh viên chỉ ra hai “dãy con”

+) $n=2k\pi, k=1, 2, \dots,$ có

$\sin(2k\pi)=0\to 0$ khi $k\to\infty$ ,

+) $n=2k\pi+\pi/2, k=1, 2, \dots,$ có

$\sin(2k\pi+\pi/2)=1\to 1$ khi $k\to\infty$ .

Từ đó dẫn đến dãy có hai giới hạn riêng khác nhau nên dãy ban đầu không hội tụ. Các lý luận có vẻ đúng nhưng chú ý

$n, k$ là các số tự nhiên nên không thể có

$n=2k\pi$ .

Do đó dãy $\{\sin(2k\pi)\}_{k=1}^\infty$ không phải là dãy con của dãy $\{\sin n\}_{n=1}^\infty$ !

Có khá nhiều cách để chỉ ra $\pi$ là số vô tỷ. Các bạn có thể tham khảo

http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational

Dưới đây tôi nói gọn cách chứng minh của Ivan Niven đưa ra năm 1946. Giả sử $\pi=a/b$ với $a, b$ là các số tự nhiên. I. Niven xét hai đa thức

$f(x)=\dfrac{x^n(a-bx)^n}{n!}$ ,

$F(x)=\sum\limits_{j=0}^n(-1)^jf^{(j)}(x)$ ,

với $n$ là số tự nhiên xác định sau.

Có

+) $F(0)+F(\pi)$ là số nguyên,

+) $\int\limits_0^\pi f(x)\sin xdx= F(0)+F(\pi)$ ,

+) $0\le f(x)\sin x\le \dfrac{\pi^n a^n}{n!}<1$ (khi $n$ đủ lớn).

Từ đó dẫn đến điều vô lý: có một số nguyên nằm trong khoảng $(0, 1)$ .

Việc chứng minh số $e$ là số vô tỷ có phần dễ hơn dựa vào biểu diễn sau

$e=1+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n!}$ .

Nếu $e=\dfrac{p}{q}$ , với $p, q$ là các số nguyên dương. Khi đó

$q! e= A+\sum\limits_{n=q+1}^\infty\dfrac{q!}{n!}$

là một số tự nhiên, trong đó

$A=q!(1+\sum\limits_{n=1}^q\dfrac{1}{n!})$

cũng là số tự nhiên.

Tuy nhiên

$0<\sum\limits_{n=q+1}^\infty\dfrac{q!}{n!}<1$ .

Do đó ta cũng có điều vô lý: có một số tự nhiên nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp!

Việc chứng minh các số $\pi, e$ là siêu việt khó khăn hơn rất nhiều! Các bạn có thể tham khảo

http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_transcendental#Transcendence_of_e_and_.CF.80

Dưới đây tôi trình bày sơ qua chứng minh số e là số siêu việt của David Hibert (đơn giản hóa chứng minh của Charles Hermite). Giả sử có các số nguyên $c_0, c_1, \dots, c_n$ với $c_0, c_n\not=0$ sao cho

$\sum\limits_{j=0}^n c_je^j=0$ .

Với mỗi số tự nhiên $k$ xét đa thức

$f_k(x)=x^k[(x-1)(x-2)\dots(x-n)]^k$ .

Khi đó

$\sum\limits_{j=0}^nc_je^j\int\limits_0^\infty f_k(x)e^{-x}dx=0.$

Ta phân tích tổng trên thành hai phần

$A=\sum\limits_{j=0}^n c_je^j\int\limits_j^\infty f_k(x)e^{-x}dx$ ,

$B=\sum\limits_{j=1}^n c_je^j\int\limits_0^j f_k(x)e^{-x}dx$ .

Có vô số số tự nhiên $k$ để

$\dfrac{A}{k!}$ là số nguyên khác $0$ .

Lại có

$\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{B}{k!}=0.$

Từ đó dẫn đến điều vô lý: có một dãy các số nguyên khác $0$ hội tụ đến $0$ . (Tại sao vô lý?)

Việc chứng minh số $\pi$ là số siêu việt dựa vào Định lý Lindemann–Weierstrass như sau.

Cho $a_1, \dots, a_n$ là các số đại số khác $0$ và $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ là các số đại số đôi một khác nhau. Khi đó

$\sum\limits_{j=1}^n a_je^{\alpha_j}\not=0$ .

Chú ý, từ công thức Euler có $1+e^{\pi i}=0$ ta có:

nếu $\pi$ là số đại số thì chọn $a_1=a_2=1, \alpha_1=0, \alpha_2=\pi i$ sẽ dẫn đến điều mâu thuẫn với Định lý Lindemann–Weierstrass.

Từ Định lý Lindemann–Weierstrass cũng dễ dàng dẫn đến $e$ là số siêu việt. (Bạn đọc thử nghĩ một chút xem?) Ngoài ra nó cũng dẫn đến kết quả đường thẳng thực $\mathbb R$ là không gian vô hạn chiều trên trường số hữu tỷ $\mathbb Q$ . (Kết quả này tôi biết từ năm thứ nhất 1998, đến giờ mới biết chứng minh rõ ràng của nó!)