Tính đơn điệu

Trong giải tích, một trong các tính chất hỗ trợ tốt cho việc kiểm tra sự hội tụ là tính đơn điệu. Chẳng hạn, nếu dãy \{u_n\}_{n=1}^\infty thỏa mãn

+ không giảm, nghĩa là u_n\le u_{n+1}, \forall n\in\mathbb N,

+ bị chặn trên, nghĩa là có số M để u_n\le M, \forall n\in\mathbb N

thì dãy đang xét hội tụ. Hơn nữa, \lim\limits_{n\to\infty}u_n\le M.

Với dãy đơn điệu, chẳng hạn đơn điệu tăng thực ra chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp:

-) dãy bị chặn trên thì hội tụ đến giá trị hữu hạn;

-) dãy không bị chặn trên thì hội tụ đến +\infty.

Ngoài ra, ta có thể mở rộng một chút cho dãy không nhất thiết đơn điệu ngay từ đầu, nghĩa là dãy \{u_n\}_{n=1}^\infty thỏa mãn

+ có số tự nhiên n_0 để từ đó trở đi u_n\le u_{n+1}, \forall n\ge n_0.

Khi đó dãy này cũng có tính chất tương tự dãy đơn điệu tăng. Một cách tương tự các bạn có thể viết cho dãy đơn điệu giảm. Một ví dụ cho trường hợp như này, xét dãy \{\dfrac{n^2}{2^n}\}_{n=1}^\infty. Dãy này sẽ giảm từ n=3 và bị chặn dưới bởi 0.

Khi quan sát sự hội tụ của chuỗi có dạng

\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n

các kết quả của Abel và Dirichlet đều xuất hiện yêu cầu đơn điệu. Các yêu cầu này cần thiết vì nếu bỏ đi rất có thể kết luận của các kết quả này sai.

Chẳng với Định lý Dirichlet, xét chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\times\dfrac{(-1)^n}{n}:

+ chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n có dãy tổng riêng bị chặn bởi 1,

+ dãy \dfrac{(-1)^n}{n} hội tụ về 0 nhưng không đơn điệu,

+ chuỗi ban đầu phân kỳ.

Với Định lý Abel xét chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}(\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+1)

+ chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} hội tụ,

+ dãy (\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+1) hội tụ về 1 nhưng không đơn điệu,

+ chuỗi ban đầu phân kỳ.

Với chuỗi đan dấu, tính đơn điệu trong dấu hiệu Leibniz cũng quan trọng. Ta xét ví dụ chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n u_n

với u_{2k}=\dfrac{1}{\sqrt{k}}, u_{2k+1}=\dfrac{1}{k+1} thỏa mãn

+ dãy u_n hội tụ về 0 nhưng không đơn điệu,

+ chuỗi ban đầu phân kỳ.

Tiếp đến ta quan sát giới hạn của hàm số. Thực chất giới hạn của dãy số là trường hợp riêng của giới hạn hàm số khi ta xét hàm xác định trên tập số tự nhiên và quan tâm đến giới hạn của hàm tại “điểm tụ” +\infty. Ta bắt đầu với dạng tương tự,

+ lấy tập A\subset\mathbb R không bị chặn trên, nghĩa là có một dãy tăng thực sự gồm x_n\in A, \forall n\in\mathbb N mà \lim\limits_{n\to\infty}x_n=+\infty,

+ xét hàm đơn điệu tăng f:A\to \mathbb R, nghĩa là f(x)\le f(y) khi x, y\in A, x<y.

Khi đó, giống như dãy số, khi quan sát giới hạn tại +\infty của f chỉ có hai tình huống sau xảy ra:

+ hàm f bị chặn trên, nghĩa là tập ảnh của nó f(A) bị chặn trên, thì tồn tại giới hạn

\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\sup_{x\in A}f(x),

– hàm f không bị chặn trên, nghĩa là có một dãy gồm các x_n\in A mà \lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=+\infty thì dãy \{x_n\}_{n=1}^\infty là dãy tăng và

\lim\limits_{n\to\infty}x_n=+\infty,

\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

Trong cả hai trường hợp đều có \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\sup_{x\in A}f(x).

Cũng giống như dãy, các tính chất trên còn đúng cho dãy cuối cùng mới đơn điệu, bị chặn, nghĩa là có một số x_0 sao cho

+ hàm f bị chặn trên và đơn điệu tăng trên tập A\cap(x_0, +\infty), nghĩa là có một số M để f(x)\le M, \forall x\in A, x>x_0, và f(x)\le f(y) khi x, y\in A, x_0<x<y, thì tồn tại giới hạn

\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\sup_{x\in A\atop x>x_0}f(x),

– hàm f không bị chặn trên và đơn điệu tăng trên A\cap(0, +\infty), nghĩa là có một dãy gồm các x_n\in A, x_n>x_0 mà \lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=+\infty, và f(x)\le f(y) khi x, y\in A, x_0<x<y, thì dãy \{x_n\}_{n=1}^\infty là dãy tăng và

\lim\limits_{n\to\infty}x_n=+\infty,

\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

Các bạn thử tự viết cho trường hợp đơn điệu giảm. Chẳng hạn ta xét ví dụ sau

f: \mathbb R\to\mathbb R, f(x)=x^{2013}e^{-x}

chỉ giảm khi x>2013 và bị chặn dưới bởi 0.

Một ví dụ nữa

g:(0, +\infty)\to\mathbb R, g(x)=\dfrac{1}{x}\sin(1/x).

Hàm này nói chung không đơn điệu cũng không bị chặn trên (0, +\infty). Tuy nhiên khi x>1 hàm g vừa đơn điệu giảm vừa bị chặn dưới bởi 0.

Ta chuyển sang quan sát giới hạn của hàm f: A\to \mathbb R tại điểm tụ x_0 của A. Ta chỉ quan sát hai trường hợp sau:

+) hàm đơn điệu tăng và x_0=\sup A,

+) hàm đơn điệu giảm và x_0=\inf A.

Các trường hợp khác để viết cho đẹp, ta cần tách bạch giới hạn trái và giới hạn phải tại x_0. Khi xét giới hạn trái hay phải thì nó trùng với một trong hai trường hợp sẽ xét ở đây. Tôi sẽ phát biểu cho trường đơn điệu tăng, trường hợp đơn điệu giảm xin dành bạn đọc.

Nếu có x_1<x_0 để f đơn điệu tăng trên A\cap(x_1, x_0)

thì tồn tại giới hạn

\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\sup_{x\in A\atop x>x_1}f(x).

Trong trường hợp f(A\cap(x_1, +\infty)) bị chặn trên thì giới hạn trên hữu hạn. Ngược lại giới hạn trên là +\infty.

Ta có thể thực hành kết quả trên qua ví dụ

f:(0, 1)\to\mathbb R, f(x)=x\sin(2013x^2) và x_0=0.

Ta chuyển qua tính liên tục. Như đã biết hàm f:[0, 1]\to\mathbb R liên tục thì f([0, 1]) là tập liên thông và có GTLN và GTNN. Nói cách khác ta có f([0, 1])=[GTNN, GTLN]. Câu hỏi: điều ngược lại có đúng không? Nghĩa là, nếu có a\le b sao cho f([0, 1])=[a, b] thì f có liên tục hay không. Câu trả lời: nói chung không. Chẳng hạn ta xét ví dụ

f:[0, 1]\to\mathbb R,
f(x)=[2x] khi 0<x<1/2, f(x)=2x-1 khi 1/2\le x\le 1.

Hàm này gián đoạn loại 1 tại x=1/2 và

f([0, 1])=[0, 1].

Vậy điều kiện gì sẽ giúp hàm f liên tục? Trả lời: tính đơn điệu. Ta có kết quả

hàm f:[0, 1]\to\mathbb R đơn điệu và có hai số a<b để f([0, 1])=[a, b] thì f liên tục trên [0, 1].

Từ kết quả này không khó để chứng minh kết quả sau.

f:[0, 1]\to\mathbb R đơn điệu tăng thực sự, và f([0, 1])=[f(0), f(1)]. Khi đó f:[0, 1]\to[f(0), f(1)] là một đồng phôi, nghĩa là nó là song ánh và hàm ngược cũng như bản thân nó đều liên tục.

Trong hàm hai biến, xét hàm f:[0, 1]\times[0, 1]\to\mathbb R. Như đã biết hàm liên tục thì sẽ liên tục theo từng biến. Điều ngược lại nói chung không đúng. Chẳng hạn xét ví dụ

f(x, y)=\begin{cases} \dfrac{y}{x}\; khi \; 0<y\le x,\\ \dfrac{x}{y} \; khi \; 0<x\le y, \\ 0 \; khi \; xy=0.\end{cases}

Hàm f liên tục theo từng biến và không liên tục tại 0 vì

\lim\limits_{x\to 0}f(x, x)=1\not=0=f(0, 0).

Vậy điều kiện gì để hàm liên tục theo từng biến trên [0, 1]\times[0, 1] là hàm liên tục. Các bạn thử tự kiểm tra khi có thêm điều kiện: f(x, y) đơn điệu theo biến x.

Ta tiếp tục chuyển sang tính khả tích. Trước hết, một hàm f đơn điệu trên [0, 1] khả tích trên [0, 1]. Lưu ý lúc này hàm f trên [0, 1] bị chặn bởi f(0) và f(1).

Vấn đề tiếp theo: hàm giới hạn f của một dãy hàm f_n:[0, 1]\to\mathbb R khả tích trên [0, 1] có là hàm khả tích không? Hơn nữa, mối quan hệ giữa dãy các tích phân \int\limits_0^1 f_n(x)dx và tích phân của hàm giới hạn \int\limits_0^1 f(x)dx như nào?

Với tích phân Riemann, người ta mới giải quyết được phần sau. Cụ thể

Nếu f_n, f:[0, 1]\to\mathbb R là các hàm liên tục thỏa mãn:

với mỗi x\in[0, 1] dãy \{f_n(x)\}_{n=1}^\infty đơn điệu giảm và hội tụ đến f(x)

thì

\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n(x)dx=\int\limits_0^1 f(x)dx.

Điều này có được nhờ Định lý Dini về sự hội tụ đều:

Với các giả thiết trên có

\lim\limits_{n\to\infty}\sup_{x\in[0, 1]}|f_n(x)-f(x)|=0,

hay nói cách khác dãy hàm \{f_n\}_{n=1}^\infty hội tụ đều đến f trên [0, 1].

Trong tích phân Lebesgue, mọi chuyện có vẻ dễ hơn với Định lý hội tụ đơn điệu của Beppo Levi như sau.

Dãy hàm đo được không âm f_n:[0, 1]\to\mathbb R đơn điệu tăng, nghĩa là f_n(x)\le f_{n+1}(x) \;\forall x\in[0, 1], và hội tụ điểm đến hàm f(x) trên [0, 1]. Khi đó hàm giới hạn đo được và

\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n(x)dx=\int\limits_0^1 f(x)dx.

Dấu bằng ở trên được hiểu nếu giới hạn vế trái tồn tại thì hàm giới hạn f khả tích Lebesgue và tích phân Lebesgue trên [0, 1] của nó chính là giới hạn của dãy tích phân vế trái.

Quay trở lại tích phân Riemann, ta có thể giảm nhẹ điều kiện đơn điệu và hội tụ điểm bằng điều kiện hội tụ đều. Khi xét sự hội tụ điểm cũng như hội tụ đều của chuỗi hàm dạng

\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)v_n(x)

ta cũng có các Định lý Abel và Dirichlet với các điều kiện về tính đơn điệu không bỏ được.

Ngoài tích phân Riemann và tích phân Lebesgue ta còn học tích phân suy rộng. Khi nghiên cứu sự hội tụ của tích phân suy rộng dạng

\int\limits_a^b f(x)g(x)dx

ta lại tiếp tục gặp Abel và Dirichle với tính đơn điệu không bỏ được.

Ta chuyển sang tính khả vi. Ta gặp một kết quả khá sâu sắc: hàm f:(0, 1)\to\mathbb R là đơn điệu thì nó khả vi hầu khắp nơi. Chứng minh của kết quả này khá khó. Các bạn có thể tham khảo trong luận văn của Vũ Công Viên

http://bomongiaitich.files.wordpress.com/2012/12/luan_van.pdf

Trong luận văn của Vũ Công Viên cũng đưa ra kết quả của Fubini về việc chuyển dấu đạo hàm qua dấu tổng. Nói cách khác, Định lý Fubini nhằm trả lời câu hỏi: chuỗi gồm các hàm khả vi hội tụ đến một hàm thì hàm giới hạn này có khả vi không? Nếu khả vi thì đạo hàm của nó liên quan gì đến chuỗi các đạo hàm?

Trong Giải tích năm thứ nhất ta cần kiểm tra khá nhiều điều kiện:

+ chuỗi hàm hội tụ tại một điểm nào đó trong tập đang xét,

+ chuỗi đạo hàm hội tụ đều trên tập đang xét.

Điều kiện chuỗi đạo hàm hội tụ đều khá chặt. Định lý Fubini đơn giản hóa như sau:

Xét chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x) với

+ u_n:[0, 1]\to\mathbb R là các hàm đơn điệu tăng,

+ chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x) hội tụ điểm đến hàm u(x) trên [0, 1].

Khi đó u_n, u khả vi hầu khắp nơi và

u'(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty u^,_n(x), h.k.n trên [0, 1].

Bình luận về bài viết này