Vài ứng dụng của khai triển Taylor

Ta bắt đầu với ứng dụng tính giới hạn của khai triển Taylor. Như đã biết quy tắc L’Hopital là một trong những kỹ thuật quan trọng để tính giới hạn. Có thể nói một trong các nguồn gốc của quy tắc này xuất phát từ khai triển Taylor. Việc dùng khai triển Taylor để tính giới hạn bắt nguồn từ việc tính giới hạn của phân thức

$I=\lim_{x\to 0}\dfrac{P(x)}{Q(x)},$

trong đó

$P(x)=a_0x^m+a_1x^{m-1}+\dots +a_{m-1}x+a_m,$

$Q(x)=b_0x^n+b_1x^{n-1}+\dots+b_{n-1}x+b_n.$

Để tính được giới hạn $I$ ta cần xác định các hệ số $a_k, b_l$ có tính chất sau:

+ $k, l$ là các số lớn nhất thỏa mãn

$a_k\not=0, b_l\not=0$ và $a_{k+1}=a_{k+2}=\dots=a_m=0, b_{l+1}=b_{l+2}=\dots=b_n=0.$

Khi đó ta có thể viết

$P(x)=a_kx^k+o(x^k), Q(x)=b_lx^l+o(x^l),$

trong đó ta hiểu $o(g(x))$ là đại lượng vô cùng bé cấp cao hơn $g(x)$ khi $x\to 0,$ nghĩa là

$\lim_{x\to 0}\dfrac{o(g(x))}{g(x)}=0.$

Ta có ba tình huống sau xảy ra

+ nếu $k>l$ thì $I=0,$ (ví dụ $\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2+x^3}{x+3}$ )

+ nếu $k<l$ thì không có giới hạn $I,$ (ví dụ $\lim_{x\to 0}\dfrac{1+x^3}{x^2+3x}$ )

+ nếu $k=l$ thì $I=\dfrac{a_k}{b_l}$ (ví dụ $\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2+1}{x+3}$ ).

Ta cũng mong muốn tính được giới hạn

$\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{g(x)}$

với $f(x), g(x)$ là các hàm khá tổng quát dựa trên kỹ thuật trên, kỹ thuật sử dụng biểu diễn “vô cùng bé” hay cũng chính là khai triển Taylor dạng Peano!

Vẫn đề ta khai triển Taylor như nào?

Câu trả lời: ta khai triển cả $f(x), g(x).$

Vấn đề tiếp khai triển đến bậc bao nhiêu?

Câu trả lời: phụ thuộc vào mẫu số $g(x).$

Phụ thuộc như nào?

Ta cần tìm cấp hội tụ về $0$ của $g(x).$

Để tránh chuyện hình thức, ta đi vào tính toán các ví dụ cụ thể.

Tính $\lim_{x\to 0}\dfrac{(x+1)^x-1}{\log(x+1)-x}.$

Có $f(x)=(x+1)^x-1=e^{x\log(x+1)}-1, g(x)=\log(x+1)-x.$

Không khó khăn gì ta có khai triển Taylor của $g(x)$

$g(x)=-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2).$

Ta chỉ cần khai triển $f(x)$ đến bậc $2.$

Ta có $x\log(x+1)=x^2+o(x^2)$ nên

$f(x)=e^{x\log(x+1)}-1=e^{x^2+o(x^2)}-1=$

$=x^2+o(x^2)+o((x^2+o(x^2)))=x^2+o(x^2).$

Như vậy $\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{x^2+o(x^2)}{-x^2/2+o(x^2)}$ hay giới hạn cần tìm $-2.$

Bạn đọc có thể tự tính các giới hạn sau

$I_1=\lim_{x\to 0}\dfrac{(x+1)^{1/x}-e}{x}, \;\;\; I_2=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{\tan(x)}-e^x\cos^2x}{\sin^2x}.$

Gợi ý:

+ tính $I_1$ ta có $g(x)=x$ nên chỉ cần khai triển đến cấp $1$ hàm

$f(x)=(x+1)^{1/x}-e=e(e^{\frac{\log(1+x)}{x} -1}-1);$

+ tính $I_2$ ta có $g(x)=\sin^2x=x^2+o(x^2)$ nên chỉ cần khai triển đến cấp $2$ hàm

$f(x)=e^{\tan(x)}-e^x\cos^2x$ (chú ý $\tan x=x+o(x^3), \cos^2 x= 1-x^2+o(x^2)$ ).

Khai triển Taylor còn có thể áp dụng vào việc tính gần đúng, tính giới hạn chuỗi số, v.v. Dưới đây tôi trình bày một ứng dụng trong “Lý thuyết Tổ hợp”. Ứng dụng này tôi học được từ “Giáo trình Tổ hợp” của thầy Hoàng Chí Thành.

Khai triển Taylor giúp ta tính được số Catalan $C_n.$ Trước hết ta cần biết số Catalan là gì? Số Catalan $C_n, n$ là số tự nhiên, là số tất cả các cây nhị phân đầy (full binary tree) với số lá $(n+1).$ Cây nhị phân đầy là cây tại các nút không phải là lá có đúng hai nút con, nút “lá” là nút không có nút con nào.

Chi tiết bạn đọc có thể xem

http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number

Với $n=0$ dễ có $C_0=1.$

Ngoài ra ta có công thức truy hồi

$C_{n+1}=\sum_{i=0}^n C_iC_{n-i}.$

Công thức này có được nhờ lý luận khá đơn giản sau:

một cây đầy có $(n+1)$ lá gồm

+ một nút gốc (không là con của nút nào),

+ cây con trái, cũng là cây đầy, với $i$ lá và cây con phải, cũng là cây đầy, với $(n-i)$ lá.

Ta chia tập các cây đầy $n$ lá thành các lớp:

lớp $0$ là lớp các cây có cây con trái có $0$ lá,

lớp $i$ là lớp các cây có cây con trái có $i$ lá, .v.v.

Lớp $i$ mỗi cây có $C_i$ cách chọn cây con trái, $C_{n-i}$ cây con phải nên số phần tử của lớp $i$

$C_iC_{n-i}.$

Từ đó cộng tất cả lại ta có công thức truy hồi.

Xét hàm số $f(x)$ có khai triển Taylor

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty C_n x^n,$

trong đó hệ số $C_n$ là các số Catalan.

Giả sử khai triển Taylor của $g(x)=f(x)f(x)$ là

$g(x)=\sum_{n=0}^\infty b_nx^n.$

Không khó khăn gì ta có $b_n=\sum_{i=0}^n C_iC_{n-i}.$

Từ công thức truy hồi có $b_n=C_{n+1}.$ Do đó

$xf^2(x)+1=f(x).$

Giải phương trình hàm với lưu ý $f(x)$ xác định tại $x=0$ ta có

$f(x)=\dfrac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}.$

Để tính $C_n$ ta khai triển Taylor hàm

$h(x)=\sqrt{1-4x}=(1-4x)^{1/2}.$

Có

$h(0)=1,$

$h^{,}(x)=(1/2)(-4)(1-4x)^{1/2-1}, h^{,}(0)=-4/2,$

$h^{(n)}(x)=(1/2)(1/2-1)\dots(1/2-n+1)(-4)^n(1-4x)^{1/2-n},$

$h^{(n)}(0)=(-1)2^n 1.3\dots (2n-3)$

nên

$h(x)=1-2x-\sum_{n=2}^\infty \dfrac{2^n 1.3\dots (2n-3)}{n!}x^n.$

Như vậy

$C_n=\dfrac{2^n 1.3\dots (2n-1)}{(n+1)!}=\dfrac{1}{n+1}{2n \choose n}.$

Bạn đọc có thể tự mình tính số Fibonacci $F_n$ nhờ phương pháp trên. Tôi nói qua về sự xuất hiện số Fibonacci. Số Fibonacci $F_n$ là số thỏ tại năm thứ $n,$ ở đây loài thỏ này được coi là không bị chết và sinh sản theo quy luật sau: