Ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovski vào giải toán ( tập 1)

Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovski là hai bất đẳng thức được sử dụng rất nhiều trong toán học. Để các bạn “Ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovski vào giải toán“, GiaitoanOnline sẽ trình bày cụ thể: ( Chuyên đề này gồm 3 tập- mời các bạn xem tiếp các tập tiếp theo)

Phần 1: MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI:

Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định hướng cách giải nhanh hơn.
Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải. Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù một số bài không yêu cầu trình bày phần này.
Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức. Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu “=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến.
Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị thường đạt được tại vị trí biên.
Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra dấu “=”xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể.

Phần 2: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

I .BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHy:

Cho n số thực không âm $a_{1},a_{2},....,a_{n}, n\in Z, n\geq 2$ ta luôn có: $a_{1}+a_{2}+....+a_{n}\geqslant n.\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}$ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a_{1}=a_{2}=....=a_{n}$ .

II. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

A. Kỹ thuật tách ghép bộ số.

1. Kỹ thuật tách ghép cơ bản

Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: $\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq 8abc$

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: $\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}= 8abc$ (đpcm)

Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a\geq 1\\ b\geq 1 \end{matrix}\right.$ chứng minh rằng: $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$ Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
$a\sqrt{b-1}= \sqrt{a}.\sqrt{ab-a}\leq \frac{1}{2}\left ( a+ab-a \right )= \frac{ab}{2}\; \left ( 1 \right )$
Tương tự: $b\sqrt{a-1}\leq \frac{ab}{2}\; \left ( 2 \right )$
Cộng (1) và (2) ta được: $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$ (đpcm)

2. Kỹ thuật tách nghịch đảo

Bài 1: Chứng minh rằng: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\; ,\forall a,b> 0$

Giải:
Vì a >0, b >0 nên $\frac{a}{b}> 0\; ,\frac{b}{a}> 0$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}= 2$ (đpcm)

Bài 2: Chứng minh rằng: $a+\frac{1}{b\left ( a-b \right )}\geq 3\; ,\forall a> a> 0$

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$a+\frac{1}{b\left ( a-b \right )}= b+\left ( a-b \right )+\frac{1}{b\left ( a-b \right )}\geq 3\sqrt[3]{{a.\left ( a-b \right ).\frac{1}{b\left ( a-b \right )}}}=3$ (đpcm)

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=a+\frac{2}{a^{2}}\; ,\forall a> 0$

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $A=a+\frac{2}{a^{2}}=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{1}{2\frac{a}{2}\frac{a}{2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{2}.\frac{a}{2}.\frac{1}{2.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{2}}= \frac{3}{2}\sqrt[3]{4}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{2}= \frac{2}{a^{2}}\Rightarrow a= \sqrt[3]{4}$
Vậy GTNN của $A= \frac{3}{2}\sqrt[3]{4}$

3. Kỹ thuật ghép đối xứng
Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau:
Phép cộng: $\left\{\begin{matrix} a+b+a=\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\\ 2\left ( a+b+c \right )=\left ( a+b \right )+\left ( b+c \right )+\left ( c+a \right ) \end{matrix}\right.$
Phép nhân: $\left\{\begin{matrix} abc=\sqrt{ab}\sqrt{bc}\sqrt{ca}\; ,\left ( a,b,c\geq 0 \right )\\ a^{2}b^{2}c^{2}=\left ( ab \right )\left ( bc \right )\left ( ca \right ) \end{matrix}\right.$

Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: $\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c$

Giải:

Ta có: $\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}= \frac{1}{2}\left ( \frac{bc}{a} +\frac{ca}{b}\right )+\frac{1}{2}\left ( \frac{ca}{b} +\frac{ab}{c}\right )+\frac{1}{2}\left ( \frac{ab}{c} +\frac{bc}{a}\right )$
$\geq \sqrt{\frac{bc}{a}\frac{ca}{b}}+\sqrt{\frac{ca}{b}\frac{ab}{c}}+ \sqrt{\frac{ab}{c}\frac{bc}{a}}= a+b+c$ (đpcm)

Bài 2: Cho ba số thực abc ≠ 0 . CMR: $\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}\geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$

Giải:
Ta có: $\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{2}\left (\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}} \right )+\frac{1}{2}\left ( \frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}} \right )+\frac{1}{2}\left ( \frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{a^{2}}{b^{2}} \right )$
$\geq \sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}\frac{b^{2}}{c^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{c^{2}}\frac{c^{2}}{a^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}\frac{a^{2}}{b^{2}}}=\left | \frac{a}{c} \right |+\left | \frac{b}{a} \right |+\left | \frac{c}{b} \right |\geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$ (đpcm)

4. Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo

Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau
Với $n\in N^{*}$ và $x_{1},x_{2},...,x_{n}> 0$ thì:
$\left (x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \right )\left ( \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+...+\frac{1}{x_{n}} \right )\geq n^{2}$

Chứng minh bất đẳng thức trên :
Ta có với $x_{1},x_{2},...,x_{n}> 0$ thì:
$\left (x_{1}+x_{2}+...+x_{n} \right )\left ( \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+...+\frac{1}{x_{n}} \right )\geq n\sqrt[n]{x_{1}x_{21}...x_{n}}.n\sqrt[n]{\frac{1}{x_{1}x_{21}...x_{n}}}=n^{2}$

Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: $\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\geq 6$

Giải:
Ta có: $\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}=\left ( 1+\frac{b+c}{a} \right )+\left ( 1+\frac{c+a}{b} \right )+\left ( 1+\frac{a+b}{c} \right )-3$
$= \frac{a+b+c}{a}+\frac{b+c+a}{b}+\frac{c+a+b}{c}-3$
$= \left ( a+b+c \right )\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )-3\geq 9-3=6$

Bài 2: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

(Bất đẳng thức Nesbit)

Giải:

Ta có: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}= \left ( 1+\frac{a}{b+c} \right )+\left (1+ \frac{b}{c+a} \right )+\left ( 1+\frac{c}{a+b} \right )-3$
$=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}-3$
$= \left (a+b+c \right )\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b} \right )-3$
$= \frac{1}{2}\left [ \left ( b+c \right )+\left ( c+a \right )+\left ( a+b \right ) \right ]\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b} \right )-3$
$\geq \frac{9}{2}-3= \frac{3}{2}$

B. Kỹ thuật đổi biến số
Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết được phương hướng giải. Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài toán về dạng đơn giản và dễ nhận biết hơn.

Bài 1: Cho Δ ABC, AB=c, BC=a, CA=b. CMR: $\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )\left ( a+b-c \right )\leq abc\left ( 1 \right )$

Giải:
Đặt
$\left\{\begin{matrix} \ b+c-a =x\\ c+a-b=y \\ a+b-c=z \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{y+z}{2}\\ b=\frac{z+x}{2} \\ c=\frac{x+y}{2} \end{matrix}\right.$
Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:
$xyz\leq \frac{x+y}{2}.\frac{y+z}{2}.\frac{z+x}{2}$
Do trong tam giác, tổng độ dài của hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại nên : x,y,z>0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$\frac{x+y}{2}.\frac{y+z}{2}.\frac{z+x}{2}\geq \sqrt{xy}.\sqrt{yz}.\sqrt{zx}= xyz$
Hay $\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )\left ( a+b-c \right )\leq abc$ (đpcm)

Bài 2: Cho Δ ABC, AB=c, BC=a, CA=b. CMR: $\frac{a^{2}}{b+c-a}+\frac{b^{2}}{c+a-b}+\frac{c^{2}}{a+b-c}\geq a+b+c \; (1)$

Giải:

Đặt
$\left\{\begin{matrix} \ b+c-a =x\\ c+a-b=y \\ a+b-c=z \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{y+z}{2}\\ b=\frac{z+x}{2} \\ c=\frac{x+y}{2} \end{matrix}\right.$
Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:
$\frac{\left ( y+z \right )^{2}}{4x}+\frac{\left ( z+x \right )^{2}}{4y}+\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4z}\geq x+y+z$

Ta có: $\frac{\left ( y+z \right )^{2}}{4x}+\frac{\left ( z+x \right )^{2}}{4y}+\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4z}\geq\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}$
Mà: $\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}=\frac{1}{2}\left ( \frac{yz}{x}+\frac{zx}{y} \right )+\frac{1}{2}\left ( \frac{zx}{y}+\frac{xy}{z} \right )+\frac{1}{2}\left ( \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x} \right )$
$\geq \sqrt{\frac{yz}{x}.\frac{zx}{y}}+\sqrt{\frac{zx}{y}.\frac{xy}{z}}+\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}= x+y+z$
Hay: $\frac{a^{2}}{b+c-a}+\frac{b^{2}}{c+a-b}+\frac{c^{2}}{a+b-c}\geq a+b+c \;$ (đpcm)

C.Kỹ thuật chọn điểm rơi

Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra.

Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:

Các biến có giá trị bằng nhau. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm
Khi các biến có giá trị tại biên. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên

Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên.

1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên

Xét các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho số thực a≥2. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của $A=a+\frac{1}{a}$
Sai lầm thường gặp là: $A=a+\frac{1}{a}\geq 2\sqrt{a.\frac{1}{2}}= 2$ Vậy GTNN của A là 2.
Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 $\Leftrightarrow a=\frac{1}{a}\Leftrightarrow a=1$ vô lý vì theo giả thuyết thì a≥2.
Lời giải đúng: $A= a+\frac{1}{a}=\frac{a}{4}+\frac{1}{a}+\frac{3a}{4}\geq 2\sqrt{\frac{a}{4}.\frac{1}{a}}+\frac{3a}{4}\geq 1+\frac{3.2}{4}=\frac{5}{2}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{4}=\frac{1}{a}\Leftrightarrow a=2$
Vậy GTNN của A là 5/2.

Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên. Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức.
Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi a= 2 . Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi a=2” . Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và 1/a vì không thỏa quy tắc dấu “=”. Vì vậy ta phải tách a hoặc 1/a để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa quy tắc dấu “=”.
Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số $\left ( \frac{a}{x},\frac{1}{a} \right )$ sao cho tại “Điểm rơi a=2” thì $\frac{a}{x}=\frac{1}{a}$ ta có sơ đồ sau:
$a=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{a}{x}=\frac{2}{x}\\ \frac{1}{a} =\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\Rightarrow x=4$
Khi đó $A= a+\frac{1}{a}=\frac{a}{4}+\frac{1}{a}+\frac{3a}{4}$ ta có lời giải như trên.

Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số $\left ( \frac{a}{x},\frac{1}{a} \right )$ ta có thể chọn các các cặp số sau: $\left ( xa,\frac{1}{a} \right );\left ( a,\frac{x}{a} \right );\left (a, \frac{1}{xa} \right )$

Bài toán 2: Cho số thực a≥2. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=a+\frac{1}{a^{2}}$

Sơ đồ điểm rơi: $a=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{a}{x}=\frac{2}{x}\\ \frac{1}{a^{2}} =\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{2}{x}=\frac{1}{4}\Rightarrow x=8$
Sai lầm thường gặp là:
$A=\frac{a}{8}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{7a}{8}\geq 2\sqrt{\frac{a}{8}.\frac{1}{a^{2}}}+\frac{7a}{8}=\sqrt{\frac{1}{2a}}+\frac{7a}{8}=\sqrt{\frac{1}{2.2}}+\frac{7.2}{8}=\frac{9}{4}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=2.
Vậy GTNN của A là 9/4

Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là 9/4 là đáp số đúng nhưng cách giải trên mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: “ $a\geq 2\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{2a}}\geq \sqrt{\frac{1}{2.2}}$ là sai”

Lời giải đúng:
$A=\frac{a}{8}+\frac{a}{8}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{6a}{8}\geq \sqrt[3]{\frac{a}{8}.\frac{a}{8}.\frac{1}{a^{2}}}+\frac{6a}{8}\geq \frac{3}{4}+\frac{6.2}{8}=\frac{9}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=2.
Vậy GTNN của A là 9/4

2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm
Xét bài toán sau:

Bài toán: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a+b≤1. Tìm GTNN của
$A=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

Sai lầm thường gặp là: $A=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 4\sqrt[4]{a.b.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}}=4$

Vậy GTNN của A là 4.

Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4 $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\Leftrightarrow a=b=1$

Khi đó a+b =2 ≥1 trái giả thuyết a+b ≤1

Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại: a=b =1/2
Sơ đồ điểm rơi: $a=b=\frac{1}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{a}{x}=\frac{b}{x}=\frac{1}{2x}\\ \frac{1}{a}=\frac{1}{b}=2 \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{2x}=2\Rightarrow x=\frac{1}{4}$
Lời giải đúng:
$A=\left ( 4a+4b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )-3a-3b\geq 4\sqrt[4]{4a.4b.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}}-3\left ( a+b \right )\geq 8-3= 5$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=1/2.
Vậy GTNN của A là 5.

Mời các bạn đón xem tiếp “Ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovski vào giải toán ( tập 2)” nhé.

H	B	T	N	S	B	C
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31

Blog Math 123

A topnotch WordPress.com site

Ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovski vào giải toán ( tập 1)

Phần 1: MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI:

Phần 2: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

I .BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHy:

II. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Phần 1: MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI:

Phần 2: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

I .BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHy:

II. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Chia sẻ:

Có liên quan

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời