Ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovski vào giải toán ( tập 2)

Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovski là hai bất đẳng thức được sử dụng rất nhiều trong toán học. Để các bạn “Ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovski vào giải toán“, GiaitoanOnline sẽ trình bày cụ thể:

Phần 2: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

……………………..Tập 2

D.Kỹ thuật nhân thêm hệ số.

Bài 1: Tìm GTLN của : $A=a^{2}\left ( 1-a \right )\; ,a\in \left ( 0,1 \right )$

Giải:

Do a, 1-a >0 nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $A=\frac{1}{2}a^{2}\left ( 2-2a \right )=\frac{1}{2}a.a\left ( 2-2a \right )\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{a+a+2-2a}{3} \right )^{3}=\frac{1}{2}.\frac{8}{27}$ $\Rightarrow A\leq \frac{4}{27}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a=2-2a=\frac{2}{3}$ .

Vậy GTLN của A là 4/27.

Bài 2: Tìm GTLN của : $A=a^{3}\left ( 2-a \right )\; ,a\in \left ( 0,2 \right )$

Giải:

Do a, 2-a >0 nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $A=\frac{1}{3}a.a.a\left ( 6-3a \right )\leq \frac{1}{3}\left ( \frac{a+a+a+6-3a}{4} \right )^{4}=\frac{27}{16}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a=6-3a=\frac{3}{2}$

Vậy GTLN của A là 27/16.

Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa $\left\{\begin{matrix} a\leq 3\\b\leq 4 \end{matrix}\right.$ .Tìm GTLN của: $A=\left ( 3-a \right )\left ( 4-b \right )\left ( 2a+3b \right )$

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $A=\frac{1}{6}\left ( 6-2a \right )\left ( 12-3b \right )\left ( 2a+3b \right )\leq \frac{1}{6}\left ( \frac{6-2a+12-3b+2a-3b}{3} \right )^{3}$ $\Leftrightarrow A\leq 36$ Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 6-2a=12-3b=2a+3b=6\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0\\b=2 \end{matrix}\right.$

Vậy GTLN của A là 36

Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a+b+c=1. Tìm GTLN của: $A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

Giải:

Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại $a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a+b=\frac{2}{3}\\ b+c=\frac{2}{3} \\ c+a=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\sqrt{a+b}=\sqrt{\frac{3}{2}}.\sqrt{\left ( a+b \right )\frac{2}{3}}\leqslant \sqrt{\frac{3}{2}}.\left ( \frac{a+b+\frac{2}{3}}{2} \right )\; ,\left ( 1 \right )$ $\sqrt{b+c}=\sqrt{\frac{3}{2}}.\sqrt{\left ( b+c \right )\frac{2}{3}}\leqslant \sqrt{\frac{3}{2}}.\left ( \frac{b+c+\frac{2}{3}}{2} \right )\; ,\left ( 2 \right )$ $\sqrt{c+a}=\sqrt{\frac{3}{2}}.\sqrt{\left ( c+a \right )\frac{2}{3}}\leqslant \sqrt{\frac{3}{2}}.\left ( \frac{c+a+\frac{2}{3}}{2} \right )\; ,\left ( 3 \right )$

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: $A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leqslant \sqrt{\frac{3}{2}}.\frac{2\left (a+b+c \right )+3.\frac{2}{3}}{2}=\sqrt{6}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a+b=\frac{2}{3}\\b+c=\frac{2}{3} \\ c+a=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Vậy GTLN của A là √6

Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật nhân thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi để tìm hệ số cho phù hợp

. Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c = 3 . Chứng minh rằng: $\sqrt[3]{a+2b}+\sqrt[3]{b+2c}+\sqrt[3]{c+2a}\geq 3\sqrt[3]{3}$

Phân tích: Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi: $a=b=c=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+2b=3\\ b+2c=3 \\ c+2a=3 \end{matrix}\right.$

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $\sqrt[3]{a+2b}=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\sqrt[3]{\left ( a+2b \right ).3.3}\leq \frac{1}{\sqrt[3]{9}}\frac{a+2b+3+3}{3}=\frac{6+a+2b}{3\sqrt[3]{9}}\; (1)$ $\sqrt[3]{b+2c}=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\sqrt[3]{\left ( b+2c \right ).3.3}\leq \frac{1}{\sqrt[3]{9}}\frac{b+2c+3+3}{3}=\frac{6+b+2c}{3\sqrt[3]{9}}\; (2)$ $\sqrt[3]{c+2a}=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\sqrt[3]{\left ( c+2a \right ).3.3}\leq \frac{1}{\sqrt[3]{9}}\frac{c+2a+3+3}{3}=\frac{6+c+2a}{3\sqrt[3]{9}}\; (3)$

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: $\sqrt[3]{a+2b}+\sqrt[3]{b+2c}+\sqrt[3]{c+2a}\leq \frac{18+3\left ( a+b+c \right )}{3\sqrt[3]{9}}=3\sqrt[3]{3}$ (đpcm)

E. Kỹ thuật hạ bậc

1.Bài toán 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c = 1 (*). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Phân tích: Sự chênh lệch về số mũ của các biểu thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ và a+b+c gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để hạ bậc $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ .Nhưng ta cần áp dụng cho bao nhiêu số và là những số nào? Căn cứ vào bậc của các biến số a, b, c trong các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho $a^{2},b^{2},c^{2}$ cùng với 1 hằng số dương tương ứng khác để làm xuất hiện a,b và c . Do a, b, c dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi a=b=c, từ (*) ta có $a=b=c=\frac{1}{3}$ . Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau. Khi đó ta có lời giải như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số: $a^{2}$ và $\frac{1}{9}$ ta có:

$a^{2}+\frac{1}{9}\geq 2\sqrt{a^{2}.\frac{1}{9}}=\frac{2}{3}a\; (1)$ Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a^{2}=\frac{1}{9}\Leftrightarrow a=\frac{1}{3}$

Tương tự:

$b^{2}+\frac{1}{9}\geq 2\sqrt{b^{2}.\frac{1}{9}}=\frac{2}{3}b\; (2)$ Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow b^{2}=\frac{1}{9}\Leftrightarrow b=\frac{1}{3}$ $c^{2}+\frac{1}{9}\geq 2\sqrt{c^{2}.\frac{1}{9}}=\frac{2}{3}c\; (3)$ Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow c^{2}=\frac{1}{9}\Leftrightarrow c=\frac{1}{3}$

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{3}\geq \frac{2}{3}\left ( a+b+c \right )=\frac{2}{3}\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Vậy GTNN của A là 1/3.

Bài 1: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện $a^{3}+b^{3}=1\; (1)$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

Phân tích: Căn cứ vào bậc của các biến số a, b trong các biểu thức trên (số bậc giảm 6 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho $a^{3};b^{3}$ cùng với 5 hằng số dương tương ứng khác để làm xuất hiện $\sqrt{a};\sqrt{b}$ . Do a, b dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị lớn nhất khi a=b, từ (*) ta có $a^{3}+b^{3}=\frac{1}{2}$ . Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau. Khi đó ta có lời giải như sau:

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số: $a^{3}$ và 5 số 1/2 ta có:
$a^{3}+5.\frac{1}{2}\geq 6\sqrt[6]{a^{3}.\left (\frac{1}{2} \right )^{5}}=6.\frac{1}{\sqrt[6]{2^{5}}}.\sqrt{a}\; (1)$ Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a^{3}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
Tương tự:
$b^{3}+5.\frac{1}{2}\geq 6\sqrt[6]{b^{3}.\left (\frac{1}{2} \right )^{5}}=6.\frac{1}{\sqrt[6]{2^{5}}}.\sqrt{b}\; (2)$ Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow b^{3}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow b=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1) và (2) ta được:
$a^{3}+b^{3}+5\geq 6\frac{1}{\sqrt[6]{2^{5}}}\left ( \sqrt{a} +\sqrt{b}\right )\Leftrightarrow 1+5\geq 6\frac{1}{\sqrt[6]{2^{5}}}\left ( \sqrt{a} +\sqrt{b}\right )$
$\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt[6]{2^{5}}$
Dấu “=” xảy ra $a=b=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
Vậy giá trị lớn nhất của A là $\sqrt[6]{2^{5}}$

Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca = 3. CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3$

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$a^{3}+b^{3}+1\geq 3\sqrt[3]{a^{3}b^{3}}=3ab\; (1)$
$b^{3}+c^{3}+1\geq 3\sqrt[3]{b^{3}c^{3}}=3bc\; (2)$
$c^{3}+a^{3}+1\geq 3\sqrt[3]{c^{3}a^{3}}=3ca\; (3)$
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
$2\left (a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )+3\geq 3\left ( ab+bc+ca \right )=9$
$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3$ (đpcm)

Bài 3: Cho các số thực dương a, b, c, m, n. CMR:
$a^{m+n}+b^{m+n}+c^{m+n}\geq a^{m}b^{n}+b^{m}c^{n}+c^{m}a^{n}$

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho m+n số: m số $a^{m+n}$ và n số $b^{m+n}$ ta có:
$ma^{m+n}+nb^{m+n}\geq \left ( m+n \right )\sqrt[m+n]{\left (a^{m+n} \right )^{m}.\left (b^{m+n} \right )^{n}}=\left ( m+n \right )a^{m}b^{n}\; (1)$
Tương tự:
$mb^{m+n}+nc^{m+n}\geq \left ( m+n \right )\left ( m+n \right )b^{m}c^{n}\; (2)$
$mc^{m+n}+na^{m+n}\geq \left ( m+n \right )\left ( m+n \right )c^{m}a^{n}\; (3)$
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
$\left ( m+n \right )\left (a^{m+n}+b^{m+n} +c^{m+n} \right )\geq \left ( m+n \right )\left ( a^{m}b^{n}+b^{m}c^{n}+c^{m}a^{n} \right )$
$a^{m+n}+b^{m+n} +c^{m+n} \geq a^{m}b^{n}+b^{m}c^{n}+c^{m}a^{n}$ (đpcm)

Lưu ý: Bất đẳng thức chúng ta vừa chứng minh sẽ được sử dụng rất nhiều trong chứng minh các bài toán khác.

2.Bài toán 2
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca =1 . Chứng minh rằng: $10a^{2}+10b^{2}+c^{2}\geq 4$

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$8a^{2}+\frac{c^{2}}{2}\geq 2\sqrt{8a^{2}.\frac{c^{2}}{2}}=4ac$
$8b^{2}+\frac{c^{2}}{2}\geq 2\sqrt{8b^{2}.\frac{c^{2}}{2}}=4bc$
$2a^{2}+2b^{2}\geq 2\sqrt{2a^{2}2b^{2}}=4ab$

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
$10a^{2}+10b^{2}+c^{2}\geq 4\left ( ab+bc+ca \right )=4.1=4$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{\begin{matrix} 8a^{2}=\frac{c^{2}}{2}\\ 8b^{2}=\frac{c^{2}}{2} \\ 2a^{2}=2b^{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=\frac{1}{3}\\c=\frac{4}{3} \end{matrix}\right.$

Đây là một lời giải ngắn gọn nhưng có vẻ hơi thiếu tự nhiên. Chúng ta sẽ thắc mắc tại sao lại tách được 10=8+2 . Nếu tách cách khác, chẳng hạn 10=6+4 liệu có giải được không? Tất nhiên mọi cách tách khác đều không dẫn đến kết quả, và tách 10=8+2 cũng không phải là sự may mắn. Bây giờ ta sẽ tìm lí do việc tách 10=8+2 ở bài toán trên.
Với 0<x<10 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$xa^{2}+\frac{c^{2}}{2}\geq 2\sqrt{xa^{2}.\frac{c^{2}}{2}}= \sqrt{2x}ac$
$xb^{2}+\frac{c^{2}}{2}\geq 2\sqrt{xb^{2}.\frac{c^{2}}{2}}= \sqrt{2x}bc$
$\left ( 10-x \right )a^{2}+\left ( 10-x \right )b^{2}\geq 2\sqrt{\left ( 10-x \right )a^{2}.\left ( 10-x \right )b^{2}}=\left ( 20-2x \right )ab$
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
$10a^{2}+10b^{2}+c^{2}\geq \sqrt{2x}\left ( ac+bc \right )+\left ( 20-2x \right )ab$
Lúc này ta cân bằng điều kiện giả thuyết, tức là:
$\sqrt{2x}= 20-2x\Leftrightarrow 2x=400-80x+4x^{2}\Leftrightarrow 2x^{2}-41x+200=0$
Giải PT ta được x=8, x=25/2
Vậy với x=8 ta có lời giải như trên.

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca =5 . Chứng minh rằng:
$3a^{2}+3b^{2}+c^{2}\geq 10$

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$2a^{2}+\frac{c^{2}}{2}\geq 2\sqrt{2a^{2}.\frac{c^{2}}{2}}=2ac$
$2b^{2}+\frac{c^{2}}{2}\geq 2\sqrt{2b^{2}.\frac{c^{2}}{2}}=2bc$
$a^{2}+b^{2}\geq 2\sqrt{a^{2}b^{2}}=2ab$

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
$3a^{2}+3b^{2}+c^{2}\geq 2\left ( ab+bc+ca \right )=2.5=10$ (đpcm)

3.Bài toán 3
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện $a^{3}+b^{3}\leq 1$ .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= a+4b

Phân tích:
Dự đoán A đạt GTLN khi $a^{3}+b^{3}= 1$
Giả sử A đạt GTLN khi $\left\{\begin{matrix} a=\alpha \\ b=\beta \end{matrix}\right.$ . Ta có $\alpha ^{3}+\beta ^{3}=1\; (1)$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số: $a^{3}$ và 2 số $\alpha ^{3}$ ta có:
$a^{3}+\alpha ^{3}+\alpha ^{3}\geq 3\sqrt[3]{a^{3}\alpha ^{3}\alpha ^{3}}=3\alpha ^{2}a$
Tương tự:
$b^{3}+\beta ^{3}+\beta ^{3}\geq 3\sqrt[3]{b^{3}\beta ^{3}\beta ^{3}}=3\beta ^{2}b$
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
$\left (a^{3}+b^{3} \right )+2\left (\alpha ^{3}+\beta ^{3} \right )\geq 3\alpha ^{2}a+3\beta ^{2}b$
Để xuất hiện a+4b ở vế phải ta chọn α,β sao cho:
$\frac{3\alpha ^{2}a}{3\beta ^{2}b}=\frac{a}{4b}\Leftrightarrow \frac{\alpha ^{2}}{\beta ^{2}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{\alpha }{\beta }=\frac{1}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix} \frac{\alpha }{\beta }=\frac{1}{2}\\ \alpha ^{3}+\beta ^{3}=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha =\frac{\sqrt[3]{3}}{3}\\ \beta =2\frac{\sqrt[3]{3}}{3} \end{matrix}\right.$

Khi đó ta có lời giải sau:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$a^{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\geq 3\sqrt[3]{a^{3}.\frac{1}{9}.\frac{1}{9}}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}a$
$b^{3}+\frac{8}{9}+\frac{8}{9}\geq 3\sqrt[3]{a^{3}.\frac{8}{9}.\frac{8}{9}}=\frac{4}{\sqrt[3]{3}}a$
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
$a^{3}+b^{3}+2\geq \frac{1}{\sqrt[3]{3}}\left ( a+4b \right )\Rightarrow a+4b\leq \sqrt[3]{3}\left ( a3+b^{3}+2 \right )\leq 3\sqrt[3]{3}$
Dấu “=” xảy ra khi
$\left\{\begin{matrix} a^{3}=\frac{1}{9}\\ b^{3}=\frac{8}{9} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{\sqrt[3]{3}}{3}\\ b=\frac{2\sqrt[3]{3}}{3} \end{matrix}\right.$
Vậy GTLN của A là $3\sqrt[3]{3}$

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3 . Tìm GTNN của
$A=4a^{2}+6b^{2}+3c^{2}$

Phân tích:
Với α,β,γ>0 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$4a^{2}+\alpha \geq 2\sqrt{4a^{2}.\alpha }=2\sqrt{4\alpha }.a$
$6b^{2}+\beta \geq 2\sqrt{6b^{2}.\beta }=2\sqrt{6\beta }.b$
$3c^{2}+\gamma \geq 2\sqrt{3c^{2}.\gamma }=2\sqrt{3\gamma }.c$
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
$4a^{2}+\alpha +6b^{2}+\beta +3c^{2}+\gamma \geq 2\sqrt{4\alpha }.a+2\sqrt{6\beta }.b+2\sqrt{3\gamma }.c$
Dấu “=” xảy ra
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c=3\\ 4a^{2}=\alpha \\ 6b^{2}=\beta \\ 3c^{2}=\gamma \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c=3\\ a=\sqrt{\frac{\alpha }{4}} \\ b=\sqrt{\frac{\beta }{6}} \\ c=\sqrt{\frac{\gamma }{3}} \end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{\frac{\alpha }{4}}+\sqrt{\frac{\beta }{6}}+\sqrt{\frac{\gamma }{3}}=3$
Chọn α,β,γ sao cho 4α=6β=3γ. Ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} a+b+c=3\\ 4\alpha =6\beta =3\gamma \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{\alpha }{4}}+\sqrt{\frac{\beta }{6}}+\sqrt{\frac{\gamma }{3}}=3\\ \beta =\frac{4\alpha }{6} \\ \gamma =\frac{4\alpha }{3} \end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{\frac{\alpha }{4}}+\sqrt{\frac{4\alpha }{6.6}}+\sqrt{\frac{4\alpha }{3.3}}=3$
$\Rightarrow \alpha =4\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \beta =\frac{8}{3}\\ \gamma =\frac{16}{3} \end{matrix}\right.$

Khi đó ta có lời giải bài toán như sau
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$4a^{2}+4\geq 2\sqrt{4a^{2}.4}=8a$
$6b^{2}+\frac{8}{3}\geq 2\sqrt{6b^{2}.\frac{8}{3}}=8b$
$3c^{2}+\frac{16}{3}\geq 2\sqrt{3c^{2}.\frac{16}{3}}=8c$
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta được:
$4a^{2}+6b^{2}+3c^{2}+4+\frac{8}{3}+\frac{16}{3}\geq 8\left ( a+b+c \right )=24$
$\Rightarrow 4a^{2}+6b^{2}+3c^{2}\geq 12$
Dấu “=” xảy ra
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c=3\\ 4a^{2}=4 \\ 6b^{2}=\frac{8}{3} \\ 3c^{2}=\frac{16}{3} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\b=\frac{2}{3} \\ c=\frac{4}{3} \end{matrix}\right.$

Vậy GTNN của A là 12

Mỏi tay quá rồi. Mời các bạn đón xem tiếp “Ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovski vào giải toán ( tập 3)” nhé.

H	B	T	N	S	B	C
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31

Blog Math 123

A topnotch WordPress.com site

Ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovski vào giải toán ( tập 2)

Phần 2: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Phần 2: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Chia sẻ:

Có liên quan

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời