Ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovski vào giải toán ( tập 3)

Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovski là hai bất đẳng thức được sử dụng rất nhiều trong toán học. Để các bạn “ Ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovski vào giải toán “, GiaitoanOnline sẽ trình bày cụ thể:

Phần 2: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

……………………..Tập 3

F. Kỹ thuật cộng thêm.

Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\frac{a}{b^{2}}+ \frac{1}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b^{2}}.\frac{1}{a}}=\frac{2}{b}\; (1)$

$\frac{b}{c^{2}}+ \frac{1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{b}{c^{2}}.\frac{1}{b}}=\frac{2}{c}\; (2)$

$\frac{c}{a^{2}}+ \frac{1}{c}\geq 2\sqrt{\frac{c}{a^{2}}.\frac{1}{c}}=\frac{2}{a}\; (3)$

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

$\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}\geq \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$

$\Rightarrow \frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}\geq +\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}$ (đpcm)

Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{a^{2}}{2b+c}+\frac{b^{2}}{2c+a}+\frac{c^{2}}{2a+b}\geq \frac{a+b+c}{3}$

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$\frac{a^{2}}{2b+c}+\frac{2b+c}{9}\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}}{2b+c}\frac{2b+c}{9}}=\frac{2a}{3}\; (1)$
$\frac{b^{2}}{2c+a}+\frac{2c+a}{9}\geq \frac{2b}{3}\; (2)$
$\frac{c^{2}}{2a+b}+\frac{2a+b}{9}\geq \frac{2c}{3}\; (3)$
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
$\frac{a^{2}}{2b+c}+\frac{b^{2}}{2c+a}+\frac{c^{2}}{2a+b}+\frac{3\left ( a+b+c \right )}{9}\geq \frac{2\left ( a+b+c \right )}{3}$
$\Rightarrow \frac{a^{2}}{2b+c}+\frac{b^{2}}{2c+a}+\frac{c^{2}}{2a+b}\geq \frac{ a+b+c}{3}$ (đpcm)

Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật cộng thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi và kỹ thuật hạ bậc để tìm hạng tử cho phù hợp.

Ví dụ:

Đối với bài 1 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi a=b=c. Khi đó $\frac{a}{b^{2}}=\frac{a}{a^{2}}=\frac{1}{a}$ , ta chọn $\frac{1}{a}$

Đối với bài 2 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi a=b=c. Khi đó $\frac{a^{2}}{2b+c}=\frac{a^{2}}{2a+a}=\frac{a}{3}$ , muốn sử dụng bất đẳng thức Cauchy để làm mất mẫu thì ta cộng thêm $\frac{2b+c}{9}$ Chọn mẫu là số 9 vì $\frac{2b+c}{9}=\frac{2a+a}{9}=\frac{a}{3}$

Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$\frac{a^{3}+b^{3}}{ab}+\frac{b^{3}+c^{3}}{bc}+\frac{c^{3}+a^{3}}{ca}\geq 2\left ( a+b+c \right )$

Giải:
Ta có:
$\frac{a^{3}+b^{3}}{ab}+\frac{b^{3}+c^{3}}{bc}+\frac{c^{3}+a^{3}}{ca}=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{b}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{c}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$\frac{a^{2}}{b}+b\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}}{b}.b}=2a\; (1)$ $\frac{b^{2}}{c}+c\geq 2\sqrt{\frac{b^{2}}{c}.c}=2b\; (2)$ $\frac{c^{2}}{a}+a\geq 2\sqrt{\frac{c^{2}}{a}.a}=2c\; (3)$
$\frac{b^{2}}{a}+a\geq 2\sqrt{\frac{b^{2}}{a}.a}=2b\; (4)$ $\frac{c^{2}}{b}+b\geq 2\sqrt{\frac{c^{2}}{b}.b}=2c\; (5)$ $\frac{a^{2}}{c}+c\geq 2\sqrt{\frac{a^{2}}{c}.c}=2a\; (6)$
Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1) đến (6) ta được:
$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{b}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{c}+2\left ( a+b+c \right )\geq 4\left ( a+b+c \right )$
$\Rightarrow \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{b}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{c}\geq 2\left ( a+b+c \right )$
$\Rightarrow \frac{a^{3}+b^{3}}{ab}+\frac{b^{3}+c^{3}}{bc}+\frac{c^{3}+a^{3}}{ca}\geq 2\left ( a+b+c \right )$ (đpcm)

Các bài tập thực hành:

Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{a^{2}}{b^{3}}+\frac{b^{2}}{c^{3}}+\frac{c^{2}}{a^{3}}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abc=1 . Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{a^{3}}{\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}+\frac{b^{3}}{\left ( 1+c \right )\left ( 1+a \right )}+\frac{c^{3}}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )}\geq \frac{3}{4}$

Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{a^{4}}{bc^{2}}+\frac{b^{4}}{ca^{2}}+\frac{c^{4}}{ab^{2}}\geq a+b+c$

Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{ab}{c^{2}\left ( a+b \right )}+\frac{bc}{a^{2}\left ( b+c \right )}+\frac{ca}{b^{2}\left ( c+a \right )}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

Bài 6: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{a^{5}}{b^{2}}+\frac{b^{5}}{c^{2}}+\frac{c^{5}}{a^{2}}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$

G. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu

Xét bài toán sau:

Bài toán: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :a+b+c=3. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

Phân tích và giải:
Ta không thể dùng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy với mẫu vì bất đẳng thức sau đó sẽ đổi chiều:
$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\leq \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\geq \frac{3}{2}$
$\left [ Do\; \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{2a}\frac{1}{2b}\frac{1}{2c}}=\frac{3}{2}.\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{3}{2}.\frac{1}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{3}{2} \right ]$

Đến đây chúng ta sẽ bị lúng túng trong cách giải. Ở đây ta sẽ sử dụng lại bất đẳng thức Cauchy theo cách khác:
$\frac{1}{a^{2}+1}=1-\frac{a^{2}}{a^{2}+1}\geq 1-\frac{a^{2}}{2a}=1-\frac{a}{2}\; (1)$

Tương tự ta có:
$\frac{1}{b^{2}+1}\geq 1-\frac{b}{2}\; (2)$ , $\frac{1}{c^{2}+1}\geq 1-\frac{c}{2}\; (3)$
Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\geq 3-\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$ (đpcm)

Nhận xét: Kỹ thuật Cauchy ngược dấu có thể hiểu là ta lấy nghịch đảo hai vế của bất đẳng thức Cauchy sau đó nhân hai vế với -1. Khi đó dấu của bất đẳng thức ban đầu sẽ không đổi chiều.

Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :a+b+c=3. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{3}{2}$

Giải:
Ta có:
$\frac{1}{1+ab}=1-\frac{ab}{1+ab}\geq 1-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=1-\frac{\sqrt{ab}}{2}\; (1)$
Tương tự ta có:
$\frac{1}{1+bc}\geq 1-\frac{\sqrt{bc}}{2}\; (2)$
$\frac{1}{1+ca}\geq 1-\frac{\sqrt{ca}}{2}\; (3)$
Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq 3-\frac{1}{2}\left ( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right )$
$\geq 3-\frac{1}{2}\left ( \frac{a+b}{2} +\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\right )=3-\frac{a+b+c}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$ (đpcm)

Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :a+b+c=3. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

Giải:
Ta có:
$\frac{a}{b^{2}+1}=a-\frac{ab^{2}}{b^{2}+1}\geq a-\frac{ab^{2}}{2b}=a-\frac{ab}{2}\; (1)$
Tương tự ta có:
$\frac{b}{c^{2}+1}\geq =b-\frac{bc}{2}\; (2)$ , $\frac{c}{a^{2}+1}\geq =c-\frac{ca}{2}\; (3)$
Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
$\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1}\geq =a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\; (1')$
Mặt khác ta có:
$ab+bc+ca\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}+\frac{b^{2}+c^{2}}{2}+\frac{c^{2}+a^{2}}{2}=\left ( a+b+c \right )^{2}-2\left ( ab+bc+ca \right )$
$\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}=\frac{9}{3}=3\; (2')$
Từ (1’) và (2’) ta có:
$\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1}\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$ (đpcm)

Lưu ý: Ta sẽ sử dụng kết quả $ab+bc+ca\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3}=3$ trong chứng minh các bài toán khác.

Các bài tập thực hành:

Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :a+b+c=3. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 3$

Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c . Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}$

Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :a+b+c=3. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{a}{b^{2}c+1}+\frac{b}{c^{2}a+1}+\frac{c}{a^{2}b+1}\geq 2$

Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :a+b+c=3. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{a}{b^{3}+1}+\frac{b}{c^{3}+1}+\frac{c}{a^{3}+1}\geq 1$

Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c . Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

Phần 3: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

I. BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

Cho 2n số thực bất kì $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n};b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n},\; n\in Z,\; n\geq 1$ ta luôn có:
$\left (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n} \right )^{2}\leq \left (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2} \right )\left (b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n} ^{2} \right )$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}$ (quy ước $b_{i}=0$ thì $a_{i}=0$ )

II. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

1. Kỹ thuật tách ghép bộ số
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa a+b+c=1. CMR $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9$
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\left ( a+b+c \right )\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq \left ( \sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}.\frac{1}{\sqrt{c}} \right )^{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9$ (đpcm)

Bài 2: Cho các số thực dương a, b,c. CMR :
$\sqrt{\frac{a+b}{a+b+c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+b+c}}+\sqrt{\frac{c+a}{a+b+c}}\leq \sqrt{6}$

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :
$\left (\sqrt{\frac{a+b}{a+b+c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+b+c}}+\sqrt{\frac{c+a}{a+b+c}} \right )^{2}\leq \left ( 1^{1}+1^{2}+1^{2} \right )\left ( \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c} \right )$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{a+b}{a+b+c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+b+c}}+\sqrt{\frac{c+a}{a+b+c}}\leq \sqrt{6}$ (đpcm)

Bài 3: Cho $a,b,c\in \left ( 0,1 \right ).$ CMR: $\sqrt{abc}+\sqrt{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )}< 1$

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :
$\left (\sqrt{abc}+\sqrt{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )} \right )^{2}\leq \left [ a+\left ( 1-a \right ) \right ]\left [ bc+\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right ) \right ]$
$\Rightarrow \sqrt{abc}+\sqrt{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )} \leq \sqrt{bc+\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )}$
$Do \; \; \sqrt{bc+\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )}< \sqrt{bc}+\sqrt{\left (1-b \right )\left ( 1-c \right )}$
$\Rightarrow \sqrt{abc}+\sqrt{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )} < \sqrt{bc}+\sqrt{\left (1-b \right )\left ( 1- \right )}$
Mà:
$\left (\sqrt{bc}+\sqrt{\left (1-b \right )\left ( 1- \right )} \right )^{2}\leq \left [ b+\left ( 1-b \right ) \right ]\left [ c+\left ( 1-c \right ) \right ]=1$
$\Rightarrow \sqrt{bc}+\sqrt{\left (1-b \right )\left ( 1- \right )} \leq 1$
Vậy ta có:
$\left (\sqrt{abc}+\sqrt{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )} \right )^{2}< 1$
Hay
$\sqrt{abc}+\sqrt{\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )} < 1$ (đpcm)

Lưu ý: Trong cách chứng minh trên ta đã sử dụng bất đẳng thức
$\sqrt{x+y}< \sqrt{x}+\sqrt{y}\; \left ( x,y> 0 \right )$
Dễ dàng chứng minh tính chất này, ta có:
$\left (\sqrt{x}+\sqrt{y} \right )^{2}=x+y+\sqrt{xy}> x+y\; \left ( x,y> 0 \right )$
$\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}> \sqrt{x+y}$

Các bài tập thực hành:
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa ab+bc+ca=4. CMR: $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq \frac{16}{3}$
Bài 2:    Cho các số thực dương a, b. CMR: $\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}$
Bài 3:    Cho các số thực dương a, b. CMR: $a+b+c\leq 2\left ( \frac{a^{2}}{b+c} +\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\right )$
Bài 4:    Cho các số thực dương a, b thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=1$ , Tìm GTLN của
$A=a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b}$
Bài 5:    Cho các số thực dương a, b thỏa mãn $36a^{2}+16b^{2}=9$ . Tìm GTLN và GTNN của

2. Kỹ thật chọn điểm rơi.

Bài 1: Cho các số thực dương a, b,c thỏa a+b+c≥6 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của
$A=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$
Phân tích:
Chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số α,β ta có:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.\sqrt{\left ( a^{2}+\frac{1}{b^{2}} \right ).\left ( \alpha ^{2}+\beta ^{2} \right )}\geq \frac{1}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.\left ( \alpha a+\frac{\beta }{b} \right )\\ \sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.\sqrt{\left ( b^{2}+\frac{1}{c^{2}} \right ).\left ( \alpha ^{2}+\beta ^{2} \right )}\geq \frac{1}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.\left ( \alpha b+\frac{\beta }{c} \right ) \\ \sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.\sqrt{\left ( c^{2}+\frac{1}{a^{2}} \right ).\left ( \alpha ^{2}+\beta ^{2} \right )}\geq \frac{1}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.\left ( \alpha c+\frac{\beta }{a} \right ) \end{matrix}\right.$
$A\geq \frac{1}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.\left [ \alpha \left ( a+b+c \right )+\beta \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \right ]$
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a=b=c=2
Sơ đồ điểm rơi:
$a=b=c=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{a}{\alpha }=\frac{1}{\beta b}\\ \frac{b}{\alpha }=\frac{1}{\beta c} \\ \frac{c}{\alpha }=\frac{1}{\beta a} \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{\alpha }{\beta }=ab=bc=ca=\frac{4}{1}$ .Chọn $\left\{\begin{matrix} \alpha =4\\ \beta =1 \end{matrix}\right.$
Kết hợp với “ kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy” ta có lời giải:
Giải:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{17}}.\sqrt{\left (a^{2}+\frac{1}{b^{2}} \right )\left ( 4^{2}+1^{2} \right )}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}\left ( 4a+\frac{1}{b} \right )\\ \sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{17}}.\sqrt{\left (b^{2}+\frac{1}{c^{2}} \right )\left ( 4^{2}+1^{2} \right )}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}\left ( 4b+\frac{1}{c}\right ) \\ \sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{17}}.\sqrt{\left (c^{2}+\frac{1}{a^{2}} \right )\left ( 4^{2}+1^{2} \right )}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}\left ( 4c+\frac{1}{a}\right ) \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow A\geq \frac{1}{\sqrt{17}}\left [ 4\left ( a+b+c \right )+\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \right ]=\frac{1}{\sqrt{17}}\left [ \frac{15}{4}\left ( a+b+c \right )+\left ( \frac{a}{4}+\frac{b}{4}+\frac{c}{4}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \right ]$
$\Rightarrow A\geq \frac{1}{\sqrt{17}}\left [ \frac{15}{4}.6+6\sqrt[6]{\frac{a}{4}.\frac{b}{4}.\frac{c}{4}.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}} \right ]=3\frac{\sqrt{17}}{2}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{\begin{matrix} \frac{a}{4}=\frac{1}{b}\\ \frac{b}{4}=\frac{1}{c} \\ \frac{c}{4}=\frac{1}{a} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=2$
Vậy GTNN của A là $\frac{3\sqrt{17}}{2}$

Bài 2: Cho các số thực dương a, b,c thỏa a+b+c≥6. Tìm GTNN của
$A=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b+c}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c+a}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a+b}}$

Phân tích:
Chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số α,β ta có:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b+c}}=\frac{1}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.\sqrt{\left [ a^{2}+\left ( \frac{1}{\sqrt{b+c}} \right )^{2} \right ].\left ( \alpha ^{2}+\beta ^{2} \right )}\geq \frac{1}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.\left ( \alpha a+\frac{\beta }{\sqrt{b+c}} \right )\\ \sqrt{b^{2}+\frac{1}{c+a}}\geq \frac{1}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.\left ( \alpha b+\frac{\beta }{\sqrt{c+a}} \right ) \\ \sqrt{c^{2}+\frac{1}{a+b}}\geq \frac{1}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.\left ( \alpha c+\frac{\beta }{\sqrt{a+b}} \right ) \end{matrix}\right.$
$A\geq \frac{1}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.\left [\alpha \left ( a+b+c \right )+\beta \left ( \frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}} \right ) \right ]$
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a=b=c=2
Sơ đồ điểm rơi:
$a=b=c=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{a}{\alpha }=\frac{1}{\beta b}\\ \frac{b}{\alpha }=\frac{1}{\beta c} \\ \frac{c}{\alpha }=\frac{1}{\beta a} \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{\alpha }{\beta }=ab=bc=ca=\frac{4}{1}$ .Chọn $\left\{\begin{matrix} \alpha =4\\ \beta =1 \end{matrix}\right.$
Kết hợp với “ kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy” ta có lời giải:
Giải:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b+c}}=\frac{1}{\sqrt{17}}.\sqrt{\left ( a^{2}+\frac{1}{b+c} \right ).\left ( 4^{2}+1^{2} \right )}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}.\left ( 4a+\frac{1}{\sqrt{b+c}} \right )\\ \sqrt{b^{2}+\frac{1}{c+a}}=\frac{1}{\sqrt{17}}.\sqrt{\left ( b^{2}+\frac{1}{c+a} \right ).\left ( 4^{2}+1^{2} \right )}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}.\left ( 4b+\frac{1}{\sqrt{c+a}} \right ) \\ \sqrt{c^{2}+\frac{1}{a+b}}=\frac{1}{\sqrt{17}}.\sqrt{\left ( c^{2}+\frac{1}{a+b} \right ).\left ( 4^{2}+1^{2} \right )}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}.\left ( 4c+\frac{1}{\sqrt{a+b}} \right ) \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow A\geq \frac{1}{\sqrt{17}}.\left [ 4\left ( a+b+c \right )+\left ( \frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}+\frac{1}{\sqrt{a+b}} \right ) \right ]$
$\Rightarrow A\geq \frac{1}{\sqrt{17}}.\left [ 4\left ( a+b+c \right )+3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{a+b}}.\frac{1}{\sqrt{b+c}}.\frac{1}{\sqrt{c+a}}} \right ]$
$\Rightarrow A\geq \frac{1}{\sqrt{17}}.\left [ 4\left ( a+b+c \right )+\frac{9}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}} \right ]$
$\Rightarrow A\geq \frac{1}{\sqrt{17}}.\left [ 4\left ( a+b+c \right )+\frac{9}{\left ( 1^{2}+1^{2}+1^{2} \right ).\left ( a+b+b+c+c+a \right )} \right ]$
$\Rightarrow A\geq \frac{1}{\sqrt{17}}.\left [ 4\left ( a+b+c \right )+\frac{9}{\sqrt{6}.\left ( a+b+c \right )} \right ]$
$\Rightarrow A\geq \frac{1}{\sqrt{17}}.\left [ \frac{31}{8}\left ( a+b+c \right )+\frac{1}{8}\left ( a+b+c \right )+\frac{9}{2\sqrt{6}.\left ( a+b+c \right )}+\frac{9}{2\sqrt{6}.\left ( a+b+c \right )} \right ]$
$\Rightarrow A\geq \frac{1}{\sqrt{17}}.\left [ \frac{31}{8}.6+3\sqrt[3]{\frac{1}{8}\left ( a+b+c \right ).\frac{9}{2\sqrt{6}.\left ( a+b+c \right )}.\frac{9}{2\sqrt{6}.\left ( a+b+c \right )}} \right ]$
$\Rightarrow A\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}$
Với a=b=c=2 thì GTNN của A là $\frac{3\sqrt{17}}{2}$

Bài 3: Cho các số thực dương a, b,c thỏa mãn $a+b+c+\sqrt{abc}\geq 10$ . Tìm GTNN của
$A=\sqrt{\frac{8}{a^{2}}+\frac{9b^{2}}{2}+\frac{c^{2}a^{2}}{4}}+\sqrt{\frac{8}{b^{2}}+\frac{9c^{2}}{2}+\frac{a^{2}b^{2}}{4}}+\sqrt{\frac{8}{c^{2}}+\frac{9a^{2}}{2}+\frac{b^{2}c^{2}}{4}}$

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a=b=c=2
Sơ đồ điểm rơi:
$a=b=c=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{a}{\alpha }=\frac{1}{\beta b}\\ \frac{b}{\alpha }=\frac{1}{\beta c} \\ \frac{c}{\alpha }=\frac{1}{\beta a} \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{\alpha }{\beta }=ab=bc=ca=\frac{4}{1}$ .Chọn $\left\{\begin{matrix} \alpha =4\\ \beta =1 \end{matrix}\right.$
Kết hợp với “ kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy” ta có lời giải:
Giải:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2+18+4}\sqrt{\frac{8}{a^{2}}+\frac{9b^{2}}{2}+\frac{c^{2}a^{2}}{4}}\leq \frac{4}{a}+9b+ca\\ \sqrt{2+18+4}\sqrt{\frac{8}{b^{2}}+\frac{9c^{2}}{2}+\frac{a^{2}b^{2}}{4}}\leq \frac{4}{b}+9c+ab \\\sqrt{2+18+4}\sqrt{\frac{8}{c^{2}}+\frac{9a^{2}}{2}+\frac{b^{2}c^{2}}{4}}\leq \frac{4}{c}+9a+bc \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \sqrt{24}A\geq \left ( \frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c} \right )+9\left ( a+b+c \right )+\left ( ab+bc+ca \right )$
$\geq \left (\frac{4}{a}+a \right )+\left (\frac{4}{b}+b \right )+\left (\frac{4}{c}+c \right )+\left (2a+bc \right )+\left (2b+ca \right )+\left (2c+ab \right )+6\left ( a+b+c \right )$
$\geq 2\sqrt{\frac{4}{a}.a}+2\sqrt{\frac{4}{b}.b}+2\sqrt{\frac{4}{c}.c}+2\sqrt{2abc}+2\sqrt{2abc}+2\sqrt{2abc}+6\left ( a+b+c \right )$
$\Rightarrow \sqrt{24}A\geq 12+6\left ( a+b+c+\sqrt{2abc} \right )\geq 12+6(2+2+2+\sqrt{2.2.2.2})=72$
$\Rightarrow A\geq \frac{72}{\sqrt{24}}=6\sqrt{6}$
Với a=b=c=2 thì GTNN của A là $6\sqrt{6}$ .

Trên đây là các ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovski vào giải toán. Cám ơn các bạn đã quan tâm.

H	B	T	N	S	B	C
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31

Blog Math 123

A topnotch WordPress.com site

Ứng dụng Bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovski vào giải toán ( tập 3)

Phần 3: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

I. BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

II. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Phần 3: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

I. BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

II. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

Chia sẻ:

Có liên quan

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời