chuỗi Taylor

Trong bài “Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa – chuỗi Fourier”

(http://bomongiaitich.wordpress.com/2012/06/01/su-hoi-tu-cua-chuoi-luy-thua-chuoi-fourier/)

nói về sự hội tụ của các chuỗi Taylor và chuỗi Fourier có đặt ra câu hỏi:

Xuất phát từ một hàm đủ tốt, ta xây dựng được chuỗi Taylor (chuỗi Fourier) của hàm đó. Giả sử các chuỗi đó hội tụ, câu hỏi đặt ra chúng hội tụ đến đâu? có phải liên quan đến hàm ban đầu không?

Câu hỏi trên cũng có thể phát biểu:

liệu hai hàm đủ tốt có cùng chuỗi Taylor (Fourier) thì chúng trùng nhau không?

Nói cách khác ta cần quan tâm đến tính duy nhất của chuỗi Taylor cũng như chuỗi Fourier.

Trước hết, với chuỗi Taylor cho hàm khả vi vô hạn $f:\mathbb R\to \mathbb R$ tại $x=0$

$\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ ,

trong bài “Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa – chuỗi Fourier” có đưa ra một số ví dụ về tính không duy nhất của chuỗi lũy thừa. Chẳng hạn xét các hàm khả vi vô hạn trên đường thẳng thực, hàm đồng nhất không $f=0$ và hàm

$f_2(x)=e^{-1/x^2}$ khi $x\not=0$ , $f_2(0)=0$

có cùng khai triển Taylor tại $x=0$ .

Như vậy chữ “đủ tốt” ở đây cần nhiều hơn “khả vi vô hạn” hay

“khả vi vô hạn” không đảm bảo tính duy nhất!

Vậy cần tốt đến mức nào để đảm bảo tính duy nhất?

Câu trả lời đầu tiên: tính “giải tích”. Hàm $f$ được gọi là giải tích tại $x=0$ nếu chuỗi Taylor tại $x=0$ của hàm này đảm bảo xác định duy nhất ngược trở lại hàm $f$ trong lân cận “đủ nhỏ” .

Người ta đã chứng minh được rằng hàm khả vi vô hạn $f$ là giải tích tại $x=0$ khi và chỉ khi

có các số dương $R, M$ để

$\sup\limits_{x\in(-R, R)\atop n\in\mathbb Z_+}\dfrac{R^n}{n!}|f^{(n)}(x)|\le M$ . $\;\;\;(1)$

Như vậy, “đủ nhỏ” ở đây nghĩa là với mỗi hàm $f$ giải tích tại $x=0$ , có một số dương $R$ lớn nhất trong các số dương để có bất đẳng thức $(1)$ , khi đó chuỗi Taylor của hàm $f$ tại $x=0$ xác định hàm $f$ trong khoảng $(-R, R)$ . Có thể thay ngay rằng $R$ không lớn hơn bán kính hội tụ $R_0$ của chuỗi Taylor

$\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ .

Dĩ nhiên khi $|x|>R_0$ chuỗi Taylor phân kỳ nên không có gì phải nói trong trường hợp này.

Nhưng khi $R\le |x|\le R_0$ điều gì xảy ra? Liệu chuỗi Taylor có hội tụ đến đúng hàm $f$ hay không?

Ta tạm gác lại câu hỏi này và có kết luận như sau:

Trong không gian các hàm khả vi vô hạn, giải tích tại $x=0$ (hay các hàm khả vi vô hạn thỏa mãn (1)), dãy giá trị các đạo hàm tại $x=0$ có thể coi như một dấu hiệu để nhận dạng hay nếu coi mỗi hàm khả vi vô hạn, giải tích tại $x=0$ như một quyển sách thì để tìm trong các quyển này một quyển sách ta lấy từ khóa chính là dãy giá trị các đạo hàm tại $x=0$ .

Quay trở lại câu hỏi trên bằng việc xét ví dụ

$f:(-1, 1)\to\mathbb R$ xác định bởi

$f(x)=\dfrac{1}{1-x}$ .

Hàm này có khai triển Taylor tại $x=0$

$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$

với bán kính hội tụ $R_0=1$ , hội tụ đến $f(x)$ trên $(-1, 1)$ .

Có $f^{(n)}(x)=\dfrac{(-1)^{n+1}n!}{(x-1)^{n+1}}$ nên nếu $R\in(1/2, 1)$ thì

$\sup\limits_{x\in(-R, R)\atop n\in\mathbb Z_+}\dfrac{R^n}{n!}|f^{(n)}(x)|=\sup\limits_{x\in(-R, R)\atop n\in\mathbb Z_+}\dfrac{R^n}{(1-x)^{n+1}}=+\infty$

(vì $0<1-x<R$ khi $1/2<x<R$ ).

Như vậy nếu dừng lại ở việc xét tính giải tích của hàm tại một điểm chưa đủ!

Ta cần quan tâm hàm giải tích trên một khoảng chẳng hạn hàm $f:(-1, 1)\to \mathbb R$ giải tích trên $(-1, 1)$ , nghĩa là hàm giải tích tại mọi điểm $x\in(-1, 1)$ .

Người ta cũng chứng minh được rằng

hàm khả vi vô hạn $f$ là giải tích trên $(-1, 1)$ nếu và chỉ nếu

với mỗi $x\in (-1, 1)$

đều có một lân cận $J_x\subset(-1, 1)$

và các số thực dương $R_x, M_x$ để

$|f^{(n)}(y)|\le M_x\dfrac{R_x^n}{n!}\; \forall x\in J, n\in\mathbb Z_+$ .

Ta lại có kết luận sau:

Trong không gian các hàm giải tích trên khoảng $(-1, 1)$ dãy giá trị các đạo hàm tại mỗi điểm hoàn toàn xác định được hàm hay nói cách khác nếu có hai hàm mà tại một điểm nào đó trong khoảng $(-1, 1)$ chúng có chung dãy giá trị các đạo hàm tại điểm đó thì chúng phải trùng nhau.

Tiếp tục theo hướng này, người ta xét các lớp hàm khả vi vô hạn như sau.

Với mỗi dãy số dương $M=\{M_0=1, M_1, M_2, \dots\}$ không gian $C^M(-1, 1)$ là tập tất cả các hàm $u$ khả vi vô hạn trên $(-1, 1)$ thỏa mãn

có một số dương $K$ để

$|f^{(n)}(x)|\le K^nM_n, \; \forall x\in(-1, 1), \forall n\in\mathbb Z_+$ .

Không gian $C^M(-1, 1)$ được gọi là tựa giải tích nếu

với mỗi $u\in C^M(-1, 1)$ có $u^{(n)}(0)=0\; \forall n\in\mathbb Z_+$ thì $u(x)=0\;\forall x\in(-1, 1)$ ;

hay nói cách khác không gian $C^M(-1, 1)$ được gọi là tựa giải tích nếu dãy giá trị các đạo hàm là dãy từ khóa!

A. Denjoy (1921) và T. Carleman (1926) chứng minh được rằng:

Không gian $C^M(-1, 1)$ là tựa giải tích khi và chỉ khi một trong các điều sau xảy ra:

(a) $\sum\limits_{j=0}^\infty\dfrac{1}{L_j}=+\infty, L_j=\inf_{k\ge j}M_k^{1/k}$ ;

(b) $\sum\limits_{j=0}^\infty (M^*_j)^{-1/j}=+\infty,$

$M^*_j=\inf\{M_j, M_k^{(l-j)/(l-k)}M_l^{(j-k)/(l-k)},\; k<j<l\}$ ;

Các bạn có thể xem chứng minh kết quả trên trong cuốn “The Analysis of linear PDEs I” của L. Hormander (trang 20-24).

Đường link của cuốn sách

https://www.box.com/s/eiz7r658b6xyv1ocbn3i

Khi $M_n=n^n, \forall n\in\mathbb Z_+$ có:

$u\in C^M(-1, 1)$ thì $u$ là hàm giải tích trên $(-1, 1)$ .

Ở trên ta mới bàn đến tính duy nhất từ dãy giá trị các đạo hàm. Ta cũng có thể hỏi về tính duy nhất: với mỗi hàm $f:(-1, 1)\to\mathbb R$ khả vi vô hạn liệu có mấy chuỗi lũy thừa

$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$

cùng hội tụ đến hàm $f$ trong một lân cận của điểm $x=0$ ?

Trước khi trả lời câu hỏi này ta nhắc lại định lý xấp xỉ Weierstrass:

Với mỗi hàm $f\in C[-1, 1]$ bất kỳ ta đều có thể xấp xỉ đều nó bởi một dãy các đa thức, hay theo ngôn ngữ $\delta-\epsilon$

$\forall \epsilon>0, \exists P(x)$ là đa thức sao cho

$\sup\limits_{x\in[-1, 1]}|f(x)-P(x)|<\epsilon.$

Có thể thấy rằng có nhiều cách chọn $P(x)$ với mỗi $\epsilon>0$ . Tuy nhiên ở đây có sự khác biệt khá lớn so với chuỗi Taylor! Bạn đọc thử tìm hiểu xem?

Còn câu trả lời cho tính “duy nhất” ở trên là: nếu có chỉ có một. Lý do đưa ra bằng cách tính toán khá đơn giản cho thấy

$a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$ .

Cũng với hai câu hỏi trên được xét cho chuỗi Fourier thì tình hình có vẻ ngược lại. Cụ thể, với câu hỏi đầu, một chuỗi Fourier cho trước

$a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n \cos(nx)+b_n\sin(nx))$

liệu có bao nhiêu hàm tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ cùng nhận chuỗi Fourier này là khai triển Fourier của nó? Nói cách khác có hàm tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ khác $0$ nào có hệ số Fourier đều bằng $0$ ?

Nếu xét trong lớp các hàm tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ , bình phương khả tích trên đoạn $[-\pi, \pi]$ , nhờ đẳng thức Parseval

$2|a_0|^2+\sum\limits_{n=1}^\infty (|a_n|^2+|b_n|^2)=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi |f(x)|^2dx$

ta có ngay câu trả lời cho tính duy nhất, nghĩa là trong không gian các hàm bình phương khả tích trên $[-\pi, \pi]$ , tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ các hệ số Fourier hoàn toàn xác định hàm.

Trong trường hợp hàm khả tích Riemann ta có nếu tất cả các hệ số Fourier đều bằng $0$ thì hàm sẽ bằng $0$ tại những điểm hàm đó liên tục. Như vậy, hàm sẽ bằng $0$ hầu khắp nơi!

Ở đây ta cũng nên có sự so sánh với Định lý xấp xỉ Weierstrass cho hàm tuần hoàn liên tục, Định lý Fejer về sự hội tụ đều của dãy tổng Fejer. Bằng việc dùng tổng Fejer

$\sigma_n(f, x)=\dfrac{1}{n+1}\sum\limits_{j=0}^nS_j(f, x)$ ,

trong đó $S_j(f, x)=a_0+\sum\limits_{k=1}^j(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx))$ ,

với lưu ý khi $f$ khả tích Lebesgue thì

$\lim\limits_{n\to\infty}||\sigma_n(f, x)-f(x)||_{L^1[-\pi, \pi]}=0$

ta cũng có câu trả lời cho tính duy nhất trong trường hợp hàm khả tích Lebesgue.

Với câu hỏi thứ hai, liệu có hai chuỗi Fourier cùng xác định một hàm hay không? Nói cách khác nếu với mỗi $x\in[-\pi, \pi]$ chuỗi Fourier

$a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$

đều hội tụ điểm về $0$

thì tất cả các hệ số Fourier $a_n=b_n=0$ ?

Câu hỏi này được đề xuất bởi B. Riemann, sau đó E. Heine giao cho G. Cantor. Năm 1870, Cantor đã trả lời khẳng định câu hỏi trên. Sau đó hai năm Cantor tiếp tục mở rộng ra bằng việc giảm nhẹ giả thiết: không cần chuỗi Fourier hội tụ về $0$ tại mọi điểm mà có thể bỏ đi một số điểm! Mọi sự thú vị có lẽ bắt đầu từ đây!

Cần lưu ý về sự hội tụ ở đây là hội tụ điểm. Nếu chuỗi Fourier hội tụ trung bình bình phương về $0$ , nghĩa là

$\lim\limits_{n\to\infty}||S_n(x)||_{L^2[-\pi, \pi]}=0$

thì có ngay tất cả các hệ số Fourier đều phải bằng $0$ vì

$||S_n(x)||_{L^2[-\pi, \pi]}=\int\limits_{-\pi}^\pi S_n(x)\overline{S_n(x)}dx=\pi(2|a_0|^2+\sum\limits_{k=1}^n(|a_k|^2+|b_k|^2))$ .

Quay trở lại lúc Cantor bỏ bớt đi một số điểm, sau đó H. Lebesgue (1903), S. N. Bernstein (1908) và W. H. Young (1909) mở rộng đến kết quả sau

nếu chuỗi Fourier hội tụ điểm về $0$ trừ ra một số đếm được các điểm thì tất cả các hệ số Fourier phải bằng $0$ .

Câu hỏi đặt ra lúc này liệu “trừ ra một tập có độ đo không” có được không, hay chính xác hơn

liệu chuỗi Fourier hội tụ hầu khắp nơi về $0$ thì tất cả các hệ số Fourier có nhất thiết đều bằng $0$ hay không?

D. Menshov có câu trả lời phủ định bằng việc xây dựng phản ví dụ.

Cũng cần lưu ý rằng L. Fejer và H. Lebesgue chứng minh được rằng:

Nếu khai triển Fourier của một hàm khả tích Lebesgue hội tụ hầu khắp nơi về $0$ thì hàm đó bằng $0$ hầu khắp nơi.

Nói cách khác trong lớp hàm khả tích Lebesgue thì việc bỏ đi “tập có độ đo không” không làm mất tính duy nhất.

Như vậy có thể thấy ví dụ của Menshov liên quan đến cái gì đó rộng hơn hàm khả tích Lebesgue, cái được gọi là giả hàm (pseudo-functions) hay rộng hơn hàm suy rộng! Cụ thể của việc xây dựng này các bạn có thể xem trong bài

“SET THEORY AND UNIQUENESS FOR TRIGONOMETRIC SERIES” của A. S. Kechris.

Các bạn có thể lấy trong trang

http://www.math.caltech.edu/people/kechris.html

Ngoài ra, D. Menshov khẳng định được rằng:

Bất kỳ hàm đo được Lebesgue $f$ đều có một chuỗi Fourier hội tụ hầu khắp nơi đến nó. Như vậy có thể có nhiều chuỗi Fourier như vậy!

Câu chuyện về tính duy nhất của chuỗi Fourier cho đến nay vẫn còn mở!

H	B	T	N	S	B	C
					1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29	30

Blog Math 123

A topnotch WordPress.com site

Tính duy nhất của chuỗi Taylor – chuỗi Fourier