Hệ Phương trình

Kĩ năng biến đổi tuyến tính trong giải hệ phương trình

Nhìn chung các phương trình của hệ phương trình với số ẩn tương ứng phải độc lập tuyến tính thì hệ mới giải được. Trong đại số tuyến tính ta biết rằng nếu hệ $x_i$ độc lập tuyến tính và tồn tại các số $a_i$ sao cho $\sum\limits_{i=1}^na_i x_i=0$ thì $a_i=0$ với mọi $i=1,…,n$. Ở đây $a_i$ là các hằng số khác 0 nên ta sẽ biến đổi $\sum\limits_{i=1}^na_i x_i=0$ về phương trình quen thuộc mà ta đã biết cách giải. Ta sẽ sử dụng tư tưởng này để giải và sáng tạo một số bài toán hệ phương trình.

https://blogmath123.wordpress.com/wp-content/uploads/2014/07/8c4b1-vd3.png

Ví dụ 5:

https://blogmath123.wordpress.com/wp-content/uploads/2014/07/ef670-vd5.png

Cuối cùng là một số ví dụ áp dụng tư tưởng này.

Trần Quốc Luật

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

 
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

\left\{\begin{array}{l}ax + by + c = 0 \\ a'x + b'y + c' = 0\end{array}\right.
Đặt
D = <br />\|<br />\begin{eqnarray}<br />a & b \\<br />a' & b'<br />\end{eqnarray}<br />\|<br />

D_x = <br />\|<br />\begin{eqnarray}<br />b & c \\<br />b' & c'<br />\end{eqnarray}<br />\|<br />

D_y = <br />\|<br />\begin{eqnarray}<br />c & a \\<br />c' & a'<br />\end{eqnarray}<br />\|<br />

– D ≠ 0 : Hệ có nghiệm duy nhất x = Dx/D và y = Dy/D
– D = 0 và (Dx ≠ 0 hay Dy ≠ 0) : hệ vô nghiệm
– D = Dx = Dy = 0 : hệ có vô số nghiệm (theo công thức nghiệm tổng quát)

Nhân tiện mình sẽ trình bày hệ phương trình tuyến tính (n phương trình n ẩn) theo phương pháp Cramer (tham khảo)

\left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2\\ \\ .......................................................... \\ \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nn}x_n = b_n\end{array}\right.

Đặt
A =<br />\ (<br />\begin{eqnarray}<br />a_{11} & a_{12} & . & . & . & a_{1n} \\<br />a_{21} & a_{22} & . & . & . & a_{2n} \\<br />\\<br />. & . & . & & & .\\<br />. & . & & . & & .\\<br />. & . & & & . & .\\<br />\\<br />a_{n1} & a_{n2} & . & . & . & a_{nn}<br />\end{eqnarray}<br />\)        B = \ (<br />\begin{eqnarray}<br />b_1 \\<br />b_2 \\ \\<br />. \\<br />. \\<br />. \\ \\<br />b_n<br />\end{eqnarray}<br />\) <br />

Ta gọi Ai là ma trận được thành lập bằng cách thay phần tử cột i của ma trận A bằng cột của ma trận B (với i = 1,2,….,n)

– Nếu │A│ ≠ 0 ↔ hệ có nghiệm duy nhất (x1, x2, … , xn) với xi = │Ai│/│A│ 
– Nếu │A│ = 0 và tồn tại │Ai│ ≠ 0 → hệ vô nghiệm
– Nếu │A│ = 0 và với mọi i = 1,2,…,n thỏa │Ai│ = 0 → hệ không có nghiệm duy nhất (hệ vô số nghiệm hoặc vô nghiệm)

II. Những dạng hệ phương trình đặc biệt thường gặp

1. Hệ phương trình đối xứng loại 1

\left\{\begin{array}{l}f(x,y) = f(y,x) = 0 \\ g(x,y) = g(y,x) = 0\end{array}\right.

Thông thường, ta đặt S = x + y và P = xy, được hệ pt theo S,P → x,y
Chú ý với mỗi (S,P), để tồn tại (x,y) thì phải thỏa : S2 – 4P ≥ 0

2. Hệ phương trình đối xứng loại 2

\left\{\begin{array}{l}f(x,y) = g(y,x) = 0 \\ g(x,y) = f(y,x) = 0\end{array}\right.

Thông thường, trừ vế với vế 2 pt, ta được một pt dạng (x – y).h(x,y) = 0

3. Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2
\left\{\begin{array}{l}a_1x^2 + b_1xy + c_1y^2 = d_1 \\ a_2x^2 + b_2xy + c_2y^2 = d_2\end{array}\right.
* Với y = 0 , giải và tìm nghiệm của hệ
* Với y ≠ 0 , giả sử (x,y) là một nghiệm của hệ thì luôn tồn tại một số thực k sao cho x = ky
   Thay x = ky ta được hệ 2 pt mới
   Chia 2 pt trên cho nhau ta được một pt chỉ chứa k.
   Tìm được k , suy ra y và x