Xét chuỗi lũy thừa
Một nhận xét xuất phát từ điều kiện cần khá đơn giản: nếu chuỗi hội tụ tại thì nó sẽ hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm mà Thật vậy, do chuỗi hội tụ tại nên theo điều kiện cần có
Ta có với có một số tự nhiên đề với mọi có
hay
Khi đó với có
và
Do đó chuỗi
hội tụ với mọi
Từ nhận xét trên, nếu đặt hội tụ thì
+) chuỗi hội tụ tuyệt đối trong khoảng
+) chuỗi phân kỳ ngoài đoạn
Để tính bán kính hội tụ ta thường dùng dấu hiệu căn Cauchy hoặc dấu hiệu D’Alembert.
Cũng có chuỗi bán kính hội tụ chẳng hạn
Và có chuỗi bán kính hội tụ chẳng hạn
Trong bài này ta chỉ bàn đến trường hợp bán kính hội tụ hữu hạn và dương.
Bằng việc sử dụng khái niệm hội tụ đều ta chỉ ra được hàm giới hạn là hàm khả vi vô hạn trên
Vấn đề của bài viết quan tâm: tại những đầu mút xảy ra những gì?
Với chú ý với và ta có thể giả sử mà không làm mất tính tổng quát.
Vấn đề đầu tiên: nếu có hội tụ đến thì liệu có ? Và nếu có thì so với thế nào?
N.H. Abel đã cho câu trả lời đẹp: Khi đó
Việc chứng minh sử dụng khái niệm hội tụ đều và Định lý Abel sau:
“Nếu chuỗi hội tụ đều trên và dãy là dãy đơn điệu, bị chặn đều trên thì chuỗi hội tụ đều trên “
Cụ thể có chuỗi hội tụ (không phụ thuộc ) và dãy là dãy giảm và bị chặn dưới đều bởi trên nên chuỗi hội tụ đều trên Từ đó ta có điều phải chứng minh.
N. H. Abel cũng cho câu trả lời khi là số phức. Ta sẽ quay trở lại vấn đề này sau.
Vấn đề tiếp theo: câu hỏi ngược lại, nghĩa là nếu biết ta nói được gì về ?
Câu trả lời khẳng định sẽ giúp ta tính được một số chuỗi số! Chẳng hạn chuỗi
Tuy nhiên không phải lúc nào cũng có câu trả lời khẳng định. Ta sẽ thấy qua ví dụ sau.
Xét chuỗi hội tụ đến trong
Có giới hạn và không có giới hạn
Như vậy cần thêm điều kiện. A. Tauber, năm 1897, đưa ra điều kiện nghĩa là Sau đó năm 1911, J.E. Littlewood đưa ra điều kiện yếu hơn một phía, nghĩa là có một hằng số dương không phụ thuộc để
hoặc
Tôi sẽ trình bày chứng minh khi có điều kiện của Tauber thì hội tụ đến .
Ta dùng ngôn ngữ để chứng minh. Lấy Ta cần chỉ ra để với mọi có
Từ giả thiết nên có số để với mọi có
Do nên có một số dương để với mọi có
Lại tiếp tục dùng giả thiết ta chọn được số tự nhiên để với mọi có
Với mỗi ta xét hiệu
Có nên
Lại có nên
Do hay nên có thể chọn để
Khi đó, ta có
nên
Bạn đọc có thể xem chứng minh trong trường hợp điều kiện Littlewood trong bài của David Borwein